1. Каков радиус окружности, которая описывает данный квадрат со стороной, равной 18 корень 2? 2. Найдите радиус

1. Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство квадрата, согласно которому вписанная окружность квадрата касается всех его сторон. Также мы будем использовать формулу для нахождения радиуса окружности, описывающей квадрат.

Предположим, что сторона квадрата равна \(a\). Тогда, согласно свойству вписанной окружности, радиус вписанной окружности будет равен половине стороны квадрата, то есть \(\frac{a}{2}\).

Чтобы найти радиус окружности, описывающей данный квадрат, мы можем использовать теорему Пифагора. Согласно этой теореме, радиус окружности, описывающей квадрат, будет равен половине диагонали квадрата.

Теперь приступим к решению первой задачи.

У нас дана сторона квадрата, равная 18 корень 2. Мы должны найти радиус окружности, описывающей данный квадрат.

Для начала найдем диагональ квадрата. С помощью теоремы Пифагора:

\(\text{диагональ}^2 = \text{сторона}^2 + \text{сторона}^2 = 18\sqrt{2}^2 + 18\sqrt{2}^2\)

\(\text{диагональ}^2 = 324 + 324 = 648\)

\(\text{диагональ} = \sqrt{648} = 18\sqrt{4 \cdot 9} = 18 \cdot 2 \cdot 3 = 36 \cdot 3 = 108\)

Теперь соотношение между радиусом окружности, описывающей квадрат, и его диагональю:

\(\text{радиус окружности} = \frac{\text{диагональ}}{2} = \frac{108}{2} = 54\)

Ответ: радиус окружности, описывающей данный квадрат, равен 54.

2. Вторая задача состоит в нахождении радиуса окружности, описанной вокруг данного квадрата, при условии, что радиус вписанной окружности равен 10 корень 2.

Мы можем воспользоваться свойством квадрата, которое гласит: радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата.

Чтобы решить эту задачу, сначала найдем диагональ квадрата. По теореме Пифагора:

\(\text{диагональ}^2 = \text{сторона}^2 + \text{сторона}^2 = 18\sqrt{2}^2 + 18\sqrt{2}^2\)

\(\text{диагональ}^2 = 324 + 324 = 648\)

\(\text{диагональ} = \sqrt{648} = 18\sqrt{4 \cdot 9} = 18 \cdot 2 \cdot 3 = 36 \cdot 3 = 108\)

Теперь, согласно свойству квадрата, радиус описанной окружности равен половине диагонали:

\(\text{радиус окружности} = \frac{\text{диагональ}}{2} = \frac{108}{2} = 54\)

Ответ: радиус окружности, описанной вокруг данного квадрата, равен 54.

3. Третья задача заключается в определении радиуса окружности, описывающей данный квадрат, при условии, что радиус вписанной окружности составляет 18 корень 2.

Мы можем воспользоваться тем же свойством квадрата и теоремой Пифагора для решения этой задачи.

Сначала найдем диагональ квадрата. С помощью теоремы Пифагора:

\(\text{диагональ}^2 = \text{сторона}^2 + \text{сторона}^2 = 18\sqrt{2}^2 + 18\sqrt{2}^2\)

\(\text{диагональ}^2 = 324 + 324 = 648\)

\(\text{диагональ} = \sqrt{648} = 18\sqrt{4 \cdot 9} = 18 \cdot 2 \cdot 3 = 36 \cdot 3 = 108\)

Теперь по свойству квадрата радиус описанной окружности равен половине диагонали:

\(\text{радиус окружности} = \frac{\text{диагональ}}{2} = \frac{108}{2} = 54\)

Ответ: радиус окружности, описывающей данный квадрат, равен 54.

4. Четвертая задача требует найти диагональ данного квадрата, если радиус вписанной в квадрат окружности равен 18 корень 2.

Мы можем воспользоваться свойствами квадрата и теоремой Пифагора для решения этой задачи.

По свойству квадрата, радиус вписанной окружности будет равен половине стороны квадрата. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда радиус вписанной окружности равен \(\frac{a}{2}\).

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 18 корень 2. Таким образом, \(\frac{a}{2} = 18\sqrt{2}\).

Домножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\(a = 36\sqrt{2}\).

Теперь мы можем найти диагональ квадрата с помощью теоремы Пифагора:

\(\text{диагональ}^2 = \text{сторона}^2 + \text{сторона}^2 = (36\sqrt{2})^2 + (36\sqrt{2})^2\)

\(\text{диагональ}^2 = 1296 \cdot 2 + 1296 \cdot 2 = 2592 + 2592 = 5184\)

\(\text{диагональ} = \sqrt{5184} = 72\)

Ответ: диагональ данного квадрата равна 72.