1. Каков период колебаний тела в данной системе, если шарик массой 1 кг совершает колебания с жесткостями пружин

1. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для периода колебаний \(T\) в системе с пружинами, которая имеет следующий вид:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эф}}}\]

где \(m\) - масса тела, а \(k_{эф}\) - эквивалентная жесткость пружин в системе.

Для данной системы с двумя параллельными пружинами, эквивалентная жесткость пружин составляет сумму жесткостей каждой пружины:

\[k_{эф} = k_1 + k_2\]

где \(k_1\) и \(k_2\) - жесткости пружин.

Таким образом, подставив значения массы и жесткостей пружин в формулу для периода колебаний, мы можем рассчитать ответ:

Заметим, что масса шарика равна 1 кг. Жесткости пружин равны 100 Н/м и 150 Н/м соответственно.

\[k_{эф} = 100 + 150 = 250 \, \text{Н/м}\]

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{250}} \approx 0.565 \, \text{сек}\]

Таким образом, период колебаний тела составляет приблизительно 0,565 секунд.

2. Чтобы увеличить частоту колебаний маятника в два раза, нужно уменьшить его период колебаний в два раза. Период колебаний математического маятника определяется следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

где \(l\) - длина нити маятника, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Если мы уменьшим длину нити в два раза, то период колебаний станет в два раза меньше:

\[T" = 2\pi\sqrt{\frac{l"}{g}}\]

где \(l"\) - новая длина нити.

Тогда чтобы увеличить частоту колебаний в два раза, нам нужно выбрать новую длину нити такую, что:

\[T" = \frac{T}{2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2}\]

Решив это уравнение относительно \(l"\), мы найдем, что новая длина нити должна быть четвертью исходной длины:

\[l" = \frac{l}{4}\]

Таким образом, чтобы увеличить частоту колебаний маятника в два раза, нужно уменьшить его длину нити до четверти исходной длины.

3. Для нахождения длины нити математического маятника, которая обеспечит период колебаний \(T = 2\) сек, мы можем использовать формулу для периода колебаний, описанную выше:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

Решив это уравнение относительно \(l\), мы получим:

\[l = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \cdot g\]

Подставляя значения, \(T = 2\) сек и \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\), мы можем вычислить ответ:

\[l = \left(\frac{2}{2\pi}\right)^2 \cdot 9.8 \approx 0.198 \, \text{м}\]

Таким образом, для того чтобы период колебаний математического маятника был равен 2 секунды, длина нити должна быть примерно равна 0.198 метра.

4. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для периода колебаний нитяного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

где \(l\) - длина нити маятника, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Опять же, подставив значения длины маятника и ускорения свободного падения в формулу, мы можем вычислить ответ:

Заметим, что длина нити маятника равна 0,75 метра.

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0,75}{9,8}} \approx 1,38 \, \text{сек}\]

Таким образом, период колебаний нитяного маятника длиной 0,75 метра составляет примерно 1,38 секунды.