1. Каков объем нового полиэдра, полученного путем отрезания вершины правильной шестиугольной пирамиды плоскостью

1. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать формулу для объема пирамиды. Объем \(V\) пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Дано, что объем отрезанной части пирамиды составляет 8. Обозначим объем оставшейся части как \(V_{\text{ост}}\). Так как объем пирамиды до отрезания составлял \(V\), то объем оставшейся части можно выразить как \(V_{\text{ост}} = V - 8\).

Далее, воспользуемся информацией о плоскости, проходящей через середину высоты пирамиды. Поскольку плоскость параллельна основанию и проходит через середину высоты, она делит пирамиду на две равные части. Таким образом, объем оставшейся части пирамиды равен половине объема исходной пирамиды.

Таким образом, получаем уравнение \(V_{\text{ост}} = \frac{1}{2} \cdot V\).

Составим уравнение для объема исходной пирамиды и подставим полученное уравнение для объема оставшейся части:

\(\frac{1}{2} \cdot V = V - 8\)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\(V - \frac{1}{2} \cdot V = 8\)

Упростим:

\(\frac{1}{2} \cdot V = 8\)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(V = 16\)

Таким образом, объем исходной пирамиды составляет 16.

2. Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для объема конуса. Объем конуса \(V\) равен \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

Зная, что объем данного конуса равен 16, обозначим площадь основания как \(S\). По условию, сечение, проведенное через середину высоты параллельно основанию, образует основание конуса. Таким образом, диаметр основания равен диаметру сечения и равен двум радиусам. Пусть радиус основания равен \(r\), тогда диаметр будет равен \(2r\).

Так как вершина конуса находится в центре основания, высота \(h\) будет равна радиусу основания \(r\).

Подставим известные значения в формулу объема конуса:

\(16 = \frac{1}{3} \cdot S \cdot r\)

Установим соответствие между диаметром и радиусом:

\(2r = d\)

Таким образом, \(r = \frac{d}{2}\).

Подставим в формулу:

\(16 = \frac{1}{3} \cdot S \cdot \frac{d}{2}\)

Упростим выражение:

\(48 = S \cdot d\)

Таким образом, объем конуса равен 16, если площадь основания \(S\) и диаметр \(d\) удовлетворяют уравнению \(48 = S \cdot d\).

3. Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о площади треугольника. Площадь \(A\) треугольника можно вычислить по формуле \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - длина основания треугольника, а \(h\) - высота треугольника.

Из условия задачи следует, что сечение, проведенное через середины трех ребер четырехугольной пирамиды, образует сечение пирамиды. Таким образом, это сечение представляет собой треугольник.

Пусть \(a\) - длина основания треугольника (одного из ребер четырехугольной пирамиды), \(h\) - высота треугольника. Площадь такого треугольника равна \(A\).

Так как пирамида правильная, все ее грани равны. Таким образом, площадь сечения через середины трех ребер равна сумме площадей трех треугольников.

Таким образом, площадь сечения равна \(3A\).

Теперь, чтобы найти площадь сечения, нам понадобится узнать длину основания \(a\) и высоту \(h\) треугольника.

Чтобы узнать длину основания \(a\), рассмотрим четырехугольную пирамиду. У нее есть основание - это правильная четырехугольная фигура.

Известно, что пирамида правильная и вершина этой четырехугольной фигуры находится в центре основания пирамиды. То есть, это равнобедренная трапеция.

Такая равнобедренная трапеция имеет две оси симметрии, которые делят ее на три части. Одна из этих трех частей - это наша искомая длина основания \(a\) треугольника.

Следовательно, длина основания равна \(\frac{1}{3}\) длины основания равнобедренной трапеции.

Чтобы узнать высоту \(h\), рассмотрим одно из боковых ребер пирамиды. Вертикальная линия, проведенная от вершины пирамиды до середины этого ребра, будет высотой треугольника.

Поскольку это равнобедренный треугольник, высота делит его на две равные части. Соответственно, эта высота равна \(\frac{1}{2}\) длины высоты боковой грани пирамиды.

Используя эти знания, мы можем вычислить площадь сечения, подставив значения длины основания \(a\) и высоты \(h\). Сечение состоит из трех таких треугольников, поэтому площадь сечения равна \(3A\).