1. Каков объем меньшего сегмента, если радиус шара равен 20 см и диаметр окружности сечения - 30 см? 2. Каков диаметр

и 5?

1. Мы знаем, что диаметр окружности сечения равен 30 см. Для определения объема меньшего сегмента шара, нам необходимо найти высоту этого сегмента. Заметим, что радиус сегмента и радиус шара создают прямоугольный треугольник, где один катет равен половине диаметра окружности сечения (15 см), а другой катет - радиусу шара (20 см). По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Обозначим высоту сегмента как \(h\):

\[
15^2 + h^2 = 20^2 \\
225 + h^2 = 400 \\
h^2 = 400 - 225 \\
h^2 = 175 \\
h = \sqrt{175} \approx 13.23
\]

Теперь, чтобы найти объем сегмента, мы будем использовать формулу для объема конуса:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

где \(r\) - радиус сегмента, а \(h\) - высота сегмента. Подставим известные значения:

\[
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 20^2 \cdot 13.23 \\
V \approx 2778.25 \, \text{см}^3
\]

Таким образом, объем меньшего сегмента равен приблизительно 2778.25 см³.

2. Площадь поверхности сферы может быть найдена с использованием формулы:

\[
A = 4 \pi r^2
\]

где \(A\) - площадь поверхности сферы, а \(r\) - радиус сферы. В данном случае, нам известна площадь поверхности (\(A = 2500\pi\) см²). Подставим это значение и найдем радиус:

\[
2500\pi = 4 \pi r^2 \\
r^2 = \frac{2500\pi}{4} \\
r^2 = 625\pi \\
r = \sqrt{625\pi} = 25\sqrt{\pi}
\]

Таким образом, диаметр сферы равен \(\text{диаметр} = 2r = 50\sqrt{\pi}\) см.

3. Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - диаметры двух шаров, а \(S_1\) и \(S_2\) - их площади поверхностей соответственно. Мы знаем, что \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}\). Площадь поверхности шара определяется формулой \(A = 4 \pi r^2\). Заметим, что площади поверхностей шаров и их диаметры связаны следующим образом:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi (r_1^2)}{4 \pi (r_2^2)} = \frac{r_1^2}{r_2^2}
\]

Подставим \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}\):

\[
\frac{4}{9} = \frac{r_1^2}{r_2^2}
\]

Умножим обе части уравнения на \(9r_2^2\):

\[
4r_2^2 = 9r_1^2
\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[
2r_2 = 3r_1
\]

Отсюда получаем, что отношение диаметров двух шаров равно \(\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{2}\).

4. Объем шара определяется формулой \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\), а площадь поверхности - формулой \(A = 4 \pi r^2\). Мы знаем, что объем шара равен 288 дм³. Подставим это значение в формулу для объема и найдем радиус:

\[
288 = \frac{4}{3} \pi r^3 \\
r^3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{288}{\pi} \\
r^3 = 216 \\
r = \sqrt[3]{216} = 6
\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, подставим найденное значение радиуса в формулу для площади поверхности:

\[
A = 4 \pi 6^2 \\
A = 144 \pi
\]

Таким образом, площадь поверхности шара равна \(144\pi\) дм².

5. Для нахождения площади сечения шара на расстоянии 3 от его центра, мы можем использовать формулу площади круга \(A = \pi r^2\), где \(r\) - радиус сечения. Мы знаем, что радиус шара равен 5 см, и плоскость пересекает его на расстоянии 3 от центра. Расстояние от центра сферы до плоскости является радиусом сечения, поэтому радиус сечения равен 3 см. Подставим это значение в формулу:

\[
A = \pi \cdot 3^2 \\
A = 9\pi
\]

Таким образом, площадь сечения шара равна \(9\pi\) см².

6. Чтобы найти радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех шаров радиусами 3, 4 и 5 см, мы сначала найдем объем каждого из шаров. Объем шара определяется формулой \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). Подставим радиусы в формулу и найдем объемы:

Для шара с радиусом 3 см:
\[
V_1 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = 36\pi
\]

Для шара с радиусом 4 см:
\[
V_2 = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{256}{3}\pi
\]

Для шара с радиусом 5 см:
\[
V_3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{500}{3}\pi
\]

Теперь сложим эти объемы:
\[
V = V_1 + V_2 + V_3 = 36\pi + \frac{256}{3}\pi + \frac{500}{3}\pi = \frac{192 + 256 + 500}{3}\pi = \frac{948}{3}\pi = 316\pi
\]

Теперь найдем радиус шара, равный объему \(V\). Подставим найденный объем в формулу для объема и найдем радиус \(r\):
\[
316\pi = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
Переставим части уравнения:
\[
r^3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{316\pi}{\pi}
\]
Упростим:
\[
r^3 = \frac{3}{4} \cdot 316
\]
\[
r^3 = 237
\]
Теперь найдем кубический корень из обоих частей уравнения:
\[
r = \sqrt[3]{237} \approx 6.22
\]

Таким образом, радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех шаров с радиусами 3, 4 и 5 см, равен примерно 6.22 см.