1. Каков объем меньшего сегмента, если радиус шара равен 20 см и диаметр окружности сечения - 30 см? 2. Каков диаметр

и 5?

1. Мы знаем, что диаметр окружности сечения равен 30 см. Для определения объема меньшего сегмента шара, нам необходимо найти высоту этого сегмента. Заметим, что радиус сегмента и радиус шара создают прямоугольный треугольник, где один катет равен половине диаметра окружности сечения (15 см), а другой катет - радиусу шара (20 см). По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Обозначим высоту сегмента как $h$:

$$\begin{gathered} {15}^2+h^2={20}^2 \\ 225+h^2=400 \\ {h}^2=400-225 \\ {h}^2=175 \\ h=\sqrt{175}\approx 13.23 \end{gathered}$$

Теперь, чтобы найти объем сегмента, мы будем использовать формулу для объема конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

где $r$ - радиус сегмента, а $h$ - высота сегмента. Подставим известные значения:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi \cdot {20}^2\cdot 13.23 \\ V\approx 2778.25{\text{см}}^3 \end{gathered}$$

Таким образом, объем меньшего сегмента равен приблизительно 2778.25 см³.

2. Площадь поверхности сферы может быть найдена с использованием формулы:

$$A=4\pi r^2$$

где $A$ - площадь поверхности сферы, а $r$ - радиус сферы. В данном случае, нам известна площадь поверхности ($A=2500\pi$ см²). Подставим это значение и найдем радиус:

$$\begin{gathered} 2500\pi =4\pi r^2 \\ {r}^2=\frac{2500\pi }{4} \\ {r}^2=625\pi \\ r=\sqrt{625\pi }=25\sqrt{\pi } \end{gathered}$$

Таким образом, диаметр сферы равен $\text{диаметр}=2r=50\sqrt{\pi }$ см.

3. Пусть $d_1$ и $d_2$ - диаметры двух шаров, а $S_1$ и $S_2$ - их площади поверхностей соответственно. Мы знаем, что $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{9}$. Площадь поверхности шара определяется формулой $A=4\pi r^2$. Заметим, что площади поверхностей шаров и их диаметры связаны следующим образом:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi (r_1^2)}{4\pi (r_2^2)}=\frac{r_1^2}{r_2^2}$$

Подставим $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{9}$:

$$\frac{4}{9}=\frac{r_1^2}{r_2^2}$$

Умножим обе части уравнения на $9r_2^2$:

$$4r_2^2=9r_1^2$$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

$$2r_2=3r_1$$

Отсюда получаем, что отношение диаметров двух шаров равно $\frac{d_1}{d_2}=\frac{3}{2}$.

4. Объем шара определяется формулой $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, а площадь поверхности - формулой $A=4\pi r^2$. Мы знаем, что объем шара равен 288 дм³. Подставим это значение в формулу для объема и найдем радиус:

$$\begin{gathered} 288=\frac{4}{3}\pi r^3 \\ {r}^3=\frac{3}{4}\cdot \frac{288}{\pi } \\ {r}^3=216 \\ r=\sqrt[3]{216}=6 \end{gathered}$$

Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, подставим найденное значение радиуса в формулу для площади поверхности:

$$\begin{gathered} A=4\pi 6^2 \\ A=144\pi \end{gathered}$$

Таким образом, площадь поверхности шара равна $144\pi$ дм².

5. Для нахождения площади сечения шара на расстоянии 3 от его центра, мы можем использовать формулу площади круга $A=\pi r^2$, где $r$ - радиус сечения. Мы знаем, что радиус шара равен 5 см, и плоскость пересекает его на расстоянии 3 от центра. Расстояние от центра сферы до плоскости является радиусом сечения, поэтому радиус сечения равен 3 см. Подставим это значение в формулу:

$$\begin{gathered} A=\pi \cdot 3^2 \\ A=9\pi \end{gathered}$$

Таким образом, площадь сечения шара равна $9\pi$ см².

6. Чтобы найти радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех шаров радиусами 3, 4 и 5 см, мы сначала найдем объем каждого из шаров. Объем шара определяется формулой $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Подставим радиусы в формулу и найдем объемы:

Для шара с радиусом 3 см:
$$V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi$$

Для шара с радиусом 4 см:
$$V_2=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3=\frac{256}{3}\pi$$

Для шара с радиусом 5 см:
$$V_3=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3=\frac{500}{3}\pi$$

Теперь сложим эти объемы:
$$V=V_1+V_2+V_3=36\pi +\frac{256}{3}\pi +\frac{500}{3}\pi =\frac{192+256+500}{3}\pi =\frac{948}{3}\pi =316\pi$$

Теперь найдем радиус шара, равный объему $V$. Подставим найденный объем в формулу для объема и найдем радиус $r$:
$$316\pi =\frac{4}{3}\pi r^3$$
Переставим части уравнения:
$$r^3=\frac{3}{4}\cdot \frac{316\pi }{\pi }$$
Упростим:
$$r^3=\frac{3}{4}\cdot 316$$
$$r^3=237$$
Теперь найдем кубический корень из обоих частей уравнения:
$$r=\sqrt[3]{237}\approx 6.22$$

Таким образом, радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех шаров с радиусами 3, 4 и 5 см, равен примерно 6.22 см.