В треугольной пирамиде nabc с основанием abc, требуется найти тангенс угла, образованного плоскостью основания

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства треугольников и пирамид.

Для начала обратимся к треугольнику abc, которое является основанием нашей пирамиды. Поскольку треугольник abc не является прямоугольным, нам потребуется найти угол между плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер an и bc. Для этого используем теорему о трех перпендикулярах.

Так как прямая, проходящая через середины ребер an и bc, является медианой треугольника abc, она делит его на два равных по площади треугольника. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой cn как точку d.

Таким образом, мы получим два равных треугольника and и bdc. Рассмотрим треугольник bdc. Из правила сохранения площадей равных треугольников, площадь треугольника bdc равна половине площади треугольника abc.

Далее обратимся к треугольнику bdc. Угол АВЦ прямой, так как серединные линии параллелограмма делят его на равные по площади треугольники. Получаем, что угол между плоскостью основания abc и прямой, проходящей через середины ребер an и bc, равен углу АВЦ.

Теперь вспомним, что тангенс угла равен отношению противоположной стороны к прилежащей. В треугольнике bdc противоположной стороной является сторона cd, а прилежащей - сторона bc.

Найдем тангенс этого угла. Обратимся к треугольнику bdc, где у нас есть гипотенуза (сторона bc) и противоположная сторона (сторона cd). Применяя теорему Пифагора, найдем длину стороны cd.

Треугольник bdc - прямоугольный. Поэтому можем записать уравнение Пифагора: \((bc)^2 = (bd)^2 + (cd)^2\).
Известно, что точка d - середина отрезка cn, поэтому длина отрезка bd будет равна половине длины отрезка cn (по свойству серединного перпендикуляра). То есть, \(bd = \frac{1}{2} \cdot cn\).
Также известно, что треугольник abc является пирамидой, поэтому сторона bc - это высота этой пирамиды. Обозначим ее через h.
Тогда имеем: \(bc = h\), \(bd = \frac{1}{2} \cdot cn\) и \(cd = ?\).

Подставим полученные значения в уравнение Пифагора и найдем длину стороны cd:
\[(h)^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot cn\right)^2 + (cd)^2\]

Теперь у нас есть длина стороны cd, и мы можем найти значение тангенса угла с помощью соотношения \(\tan(\angle AVC) = \frac{cd}{bc}\).

Подставим полученное значение длины стороны cd и длины стороны bc в формулу для тангенса:
\[\tan(\angle AVC) = \frac{cd}{bc}\]

Найденное значение тангенса будет являться искомым ответом.