1. Каков объем и площадь поверхности шара, если расстояние от точки А, лежащей в плоскости, до центра шара равно

Конечно! Давайте посмотрим на каждую задачу по отдельности и пошагово решим их:

1. Для начала, вспомним основные формулы, связанные с объемом и площадью поверхности шара. Объем \(V\) шара можно найти по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) - радиус шара. Площадь поверхности \(S\) шара вычисляется по формуле \(S = 4\pi r^2\).

Расстояние от точки А до центра шара равно 15, а до точки касания равно 5. Здесь у нас получается, что радиус шара равен 15, так как это расстояние от центра до любой точки на поверхности шара. Теперь мы можем рассчитать объем и площадь поверхности шара, подставив значение радиуса в соответствующие формулы:

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 15^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 \approx 14137,17\]

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi \cdot 15^2 = 4\pi \cdot 225 = 900\pi \approx 2827,43\]

Таким образом, объем шара составляет примерно 14137,17 единиц^3, а площадь поверхности равна примерно 2827,43 единиц^2.

2. Теперь рассмотрим задачи с различными разрезами перпендикулярно радиусу шара.

а) Когда разрез делит радиус в отношении 4:1, а его площадь равна 36π.

Площадь разреза можно найти по формуле \(S_{разреза} = \pi r_{разреза}^2\), где \(r_{разреза}\) - радиус разреза внутри шара.

Дано, что площадь разреза равна 36π. Подставим данное значение в формулу и найдем радиус разреза:
\[36\pi = \pi r_{разреза}^2\]
\[r_{разреза}^2 = 36\]
\[r_{разреза} = 6\]

Теперь, чтобы найти объем и площадь поверхности шара, разрезанных этим разрезом, мы можем воспользоваться следующими формулами:

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r_{разреза}^3)\]
где \(R\) - радиус шара, \(r_{разреза}\) - радиус разреза.

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi R^2 + 4\pi r_{разреза}^2\]
где \(R\) - радиус шара, \(r_{разреза}\) - радиус разреза.

Подставим значение радиуса разреза и рассчитаем объем и площадь поверхности шара:

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi (15^3 - 6^3) = \frac{4}{3}\pi (3375 - 216) \approx 4540,45\]

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi 15^2 + 4\pi 6^2 = 900\pi + 144\pi \approx 3392,92\]

Итак, объем разрезанного шара составляет приблизительно 4540,45 единиц^3, а площадь поверхности равна около 3392,92 единиц^2.

б) Когда разрез делит радиус на две части, одна из которых равна 2 и радиус разреза равен 4.

В этой задаче нам также дан радиус разреза и одна из половин радиуса. Обозначим половину радиуса как \(r_{1}\) и найдем вторую половинку радиуса с помощью разреза.

Из условия известно, что \(r_{разреза} = 4\) и одна половина радиуса равна 2. Тогда вторая половина радиуса будет равна:
\[r_{2} = r_{разреза} - r_{1} = 4 - 2 = 2\]

Теперь, чтобы найти объем и площадь поверхности шара, разрезанных этим разрезом, мы можем использовать такие же формулы, что и в предыдущей задаче.

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi (R^3 - ({r_{1}}^3 + r_{2}^3))\]
где \(R\) - радиус шара, \(r_{1}\) и \(r_{2}\) - половины радиуса.

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi R^2 + 4\pi ({r_{1}}^2 + r_{2}^2)\]
где \(R\) - радиус шара, \(r_{1}\) и \(r_{2}\) - половины радиуса.

Подставим значения половин радиуса и рассчитаем объем и площадь поверхности шара:

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi (15^3 - (2^3 + 2^3)) = \frac{4}{3}\pi (3375 - (8 + 8)) \approx 4237,87\]

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi 15^2 + 4\pi (2^2 + 2^2) = 900\pi + 16\pi + 16\pi \approx 3794,78\]

Итак, объем разрезанного шара составляет около 4237,87 единиц^3, а площадь поверхности равна около 3794,78 единиц^2.

3. Продолжим с третьей задачей, где фигура, вписанная в большой круг шара, имеет различные формы.

а) Когда вписанная фигура - правильный треугольник со стороной \(2√3\).

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств правильных треугольников. Радиус шара, в который вписан правильный треугольник, может быть найден с помощью формулы \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(a\) - сторона треугольника.

Здесь \(a = 2\sqrt{3}\), поэтому радиус шара будет равен:
\[r = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1\]

Теперь мы можем найти объем и площадь поверхности шара:

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi 1^3 = \frac{4}{3}\pi \approx 4,19\]

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi r^2 = 4\pi 1^2 = 4\pi \approx 12,57\]

Таким образом, объем шара составляет приблизительно 4,19 единиц^3, а площадь поверхности равна около 12,57 единиц^2.

б) Когда вписанная фигура - квадрат со стороной 2.

Для решения этой задачи нам необходимо найти радиус шара, в который вписан квадрат. Радиус шара может быть найден по формуле \(r = \frac{s}{2}\), где \(s\) представляет собой сторону квадрата.

В данной задаче сторона квадрата равна 2, следовательно, радиус шара будет равен:
\[r = \frac{2}{2} = 1\]

Теперь найдем объем и площадь поверхности шара:

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi 1^3 = \frac{4}{3}\pi \approx 4,19\]

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi r^2 = 4\pi 1^2 = 4\pi \approx 12,57\]

Таким образом, объем шара составляет около 4,19 единиц^3, а площадь поверхности равна приблизительно 12,57 единиц^2.

Надеюсь, я максимально подробно и понятно объяснил каждую задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!