1. Каков граф отношения равенства на множестве дробей { 3 /4, 1/ 5, 9 /12, 5 /25, 12 /6}? Какие особенности этого графа

1. Граф отношения равенства на множестве дробей {3/4, 1/5, 9/12, 5/25, 12/6} будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccccccccccc}
\frac{3}{4} & = & \frac{3}{4} & & & \frac{1}{5} & \neq & \frac{3}{4} & & & \frac{9}{12} & = & \frac{3}{4} & \\
& & & & & & & & & & & & & \\
\frac{3}{4} & \neq & \frac{1}{5} & & & \frac{1}{5} & = & \frac{1}{5} & & & \frac{9}{12} & \neq & \frac{1}{5} & \\
& & & & & & & & & & & & & \\
\frac{3}{4} & = & \frac{9}{12} & & & \frac{1}{5} & \neq & \frac{9}{12} & & & \frac{9}{12} & = & \frac{9}{12} &
\end{array}
\]

Особенностью данного графа отношения равенства является наличие циклов. Например, дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{9}{12}\) равны между собой, а дроби \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{9}{12}\) тоже равны, однако, дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{1}{5}\) не равны друг другу. Эти особенности связаны с тем, что дроби можно сокращать до одинаковых значений, что влияет на результат сравнения.

2. Путем приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, найдем следующие пары дробей:

А) 1/3 и 1/102:
Для этой задачи нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 1/3 и 1/102. НОЗ (Наименьший Общий Знаменатель) - это наименьшее число, на которое можно домножить оба знаменателя, чтобы получить одинаковый знаменатель.

Наименьший общий знаменатель для 3 и 102 равен 306. Поэтому дроби 1/3 и 1/102 при приведении к общему знаменателю равны 102/306 и 3/306 соответственно.

Б) 7/16 и 5/844:
Наименьший общий знаменатель для 16 и 844 равен 13472. Поэтому дроби 7/16 и 5/844 при приведении к общему знаменателю равны 7309/13472 и 120/13472 соответственно.

В) 15/171 и 23/270:
Наименьший общий знаменатель для 171 и 270 равен 4590. Поэтому дроби 15/171 и 23/270 при приведении к общему знаменателю равны 850/4590 и 207/4590 соответственно.

3. Для нахождения несократимой дроби, равной выражениям, посредством наибольшего общего делителя, выполним следующие шаги:

А) 108/144:
Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 108 и 144. Разложим числа на простые множители:
108 = 2^2 * 3^3,
144 = 2^4 * 3^2.
Общие простые множители: 2^2 * 3^2 = 36.

Теперь поделим исходную дробь на полученный НОД:
\frac{108}{144} = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4} = \frac{3}{4}.

Таким образом, несократимая дробь, равная выражению 108/144 через наибольший общий делитель, равна 3/4.

Б) 402/455:
Разложим числа на простые множители:
402 = 2 * 3 * 67,
455 = 5 * 7 * 13.
Общие простые множители: нет.

Поскольку числа 402 и 455 не имеют общих простых множителей, то дробь 402/455 уже является несократимой.

В) 780/2730:
Разложим числа на простые множители:
780 = 2^2 * 3 * 5 * 13,
2730 = 2 * 3 * 5 * 7 * 13.
Общие простые множители: 2 * 3 * 5 * 13 = 390.

Теперь поделим исходную дробь на полученный НОД:
\frac{780}{2730} = \frac{390 \cdot 2}{390 \cdot 7} = \frac{2}{7}.

Таким образом, несократимая дробь, равная выражению 780/2730 через наибольший общий делитель, равна 2/7.

Г) 45*56+45*14/70*72:
Выполним арифметические операции в числителе и знаменателе выражения:
45 * (56 + 14) / (70 * 72) = 45 * 70 / (70 * 72).
Сокращаем числитель и знаменатель на 70:
\frac{45}{72} = \frac{5}{8}.

Таким образом, выражение 45*56+45*14/70*72 равно \frac{5}{8}.

Д) 38*53-38*25/19*42:
Выполним арифметические операции в числителе и знаменателе выражения:
38 * (53 - 25) / (19 * 42) = 38 * 28 / (19 * 42).
Сокращаем числитель и знаменатель на 2:
\frac{19}{19} = 1.

Таким образом, выражение 38*53-38*25/19*42 равно 1.