1. Каков большой угол параллелограмма, если отношение двух его углов составляет 17:55? Укажите ответ в градусах

1. Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать отношение углов параллелограмма и выразить его в виде уравнения. Давайте обозначим большой угол параллелограмма как \(x\). Тогда меньший угол будет равен \(\frac{55}{17}x\), так как отношение двух углов равно \(17:55\).

Теперь мы можем записать уравнение:
\(x + \frac{55}{17}x = 180^\circ\), так как сумма углов параллелограмма равна \(180^\circ\).

Перепишем это уравнение с общим знаменателем:
\(\frac{17x}{17} + \frac{55x}{17} = 180^\circ\).

Теперь сложим дроби:
\(\frac{17x + 55x}{17} = 180^\circ\).

Приведем к общему знаменателю и объединим числители:
\(\frac{72x}{17} = 180^\circ\).

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель:
\(72x = 17 \cdot 180^\circ\).

Теперь решим это уравнение:
\(72x = 3060^\circ\).

Для того чтобы найти \(x\), разделим обе части на 72:
\(x = \frac{3060^\circ}{72}\).

Применим деление:
\(x = 42,5^\circ\).

Таким образом, большой угол параллелограмма равен \(42,5^\circ\).

2. Давайте обозначим меньшую сторону параллелограмма как \(3x\), а большую сторону как \(7x\), так как отношение двух сторон равно \(3:7\).

Теперь мы можем записать уравнение для периметра:
\(2(3x) + 2(7x) = 60\), так как периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон.

Раскроем скобки и сложим термы:
\(6x + 14x = 60\).

Объединим подобные слагаемые:
\(20x = 60\).

Теперь решим это уравнение:
\(x = \frac{60}{20}\).

Простое деление даст нам результат:
\(x = 3\).

Таким образом, большая сторона параллелограмма равна \(7x = 7 \cdot 3 = 21\).

3. Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство ромба, согласно которому высота проходит через острый угол и перпендикулярна противоположной стороне.

В данном случае, острый угол ромба равен 60 градусов, а сторона равна \(4^\sqrt{3}\).

Поскольку острый угол ромба равен 60 градусам, мы можем использовать эту информацию для определения высоты ромба. Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора.

Обозначим высоту как \(h\). Тогда можно записать следующее уравнение:
\(h^2 + (\frac{4^\sqrt{3}}{2})^2 = 4^3\).

Упростим уравнение:
\(h^2 + 12 = 4^3\).

Разложим число \(4^3\) в квадрат:
\(h^2 + 12 = 64\).

Вычтем 12 с обеих сторон уравнения:
\(h^2 = 52\).

Возведем обе стороны в квадратный корень:
\(h = \sqrt{52}\).

Окончательно упростим:
\(h = 2\sqrt{13}\).

Таким образом, высота ромба равна \(2\sqrt{13}\).

4. Для решения этой задачи, нам также понадобится использовать свойство ромба, согласно которому диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В данном случае, стороны ромба равны 33, а острый угол равен 60 градусам.

Чтобы найти меньшую диагональ ромба, мы можем воспользоваться теоремой косинусов, так как у нас есть две стороны и угол между ними.

Обозначим меньшую диагональ как \(d\). Тогда мы можем записать следующее уравнение:
\(d^2 = 33^2 + 33^2 - 2 \cdot 33 \cdot 33 \cdot \cos(60^\circ)\).

Раскроем, упростим и рассчитаем:
\(d^2 = 1089 + 1089 - 1089 \cdot \frac{1}{2}\).

Упростим дальше:
\(d^2 = 1089 + 1089 - 544,5\).

Произведем необходимые вычисления:
\(d^2 = 1633,5\).

Vозведем обе стороны в квадратный корень:
\(d = \sqrt{1633,5}\).

С использованием калькулятора, получим приближенное значение:
\(d \approx 40,41\).

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна примерно 40,41.

5. Если один угол параллелограмма больше другого на 90 градусов, то это означает, что сумма данных углов равна 180 градусам. Обозначим меньший угол как \(x\).

Теперь мы можем записать уравнение:
\(x + (x+90) = 180\).

Сложим термы:
\(2x + 90 = 180\).

Вычтем 90 с обеих сторон уравнения:
\(2x = 90\).

Разделим обе части на 2:
\(x = 45\).

Таким образом, большой угол параллелограмма равен \(x+90 = 45+90 = 135\).

Ответ: большой угол параллелограмма равен 135 градусам.