1) Какое значение имеют параметры m и c для прямой (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 и плоскости 3x-2y+cz+1=0, которые

Для решения первой задачи, нам необходимо найти значения параметров m и c, такие что прямая и плоскость перпендикулярны друг другу.

Первым шагом найдем нормальный вектор плоскости. В уравнении плоскости 3x - 2y + cz + 1 = 0, коэффициенты перед x, y и z соответственно равны 3, -2 и c. Исходя из этого, нормальный вектор плоскости имеет координаты [3, -2, c].

Теперь, зная нормальный вектор плоскости, мы можем найти нормальный вектор прямой. Так как прямая перпендикулярна плоскости, нормальный вектор прямой будет параллелен нормальному вектору плоскости. То есть, [3, -2, c] будет параллелен вектору [m, 4, -3].

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:
\[3m + (-2) \cdot 4 + c \cdot (-3) = 0\]
\[3m - 8 - 3c = 0\]
\[3m - 3c = 8\]
\[m - c = \frac{8}{3}\]

Таким образом, мы получили уравнение, которое связывает параметры m и c.

Вторая задача заключается в нахождении направляющих косинусов для данной прямой. Направляющие косинусы - это отношения координат направляющего вектора прямой к длине этого вектора.

Используя уравнение прямой \(\frac{{x-z}}{m} = \frac{{y+1}}{4} = \frac{{z-5}}{-3}\), определим направляющий вектор прямой [m, 4, -3]. Длина этого вектора равна \(\sqrt{m^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{m^2 + 16 + 9} = \sqrt{m^2 + 25}\).

Теперь найдем направляющие косинусы. Они равны отношению каждой координаты направляющего вектора к его длине. То есть, направляющий косинус для координаты m будет равен \(\frac{m}{\sqrt{m^2 + 25}}\), для координаты 4 - \(\frac{4}{\sqrt{m^2 + 25}}\), для координаты -3 - \(\frac{-3}{\sqrt{m^2 + 25}}\).

Таким образом, направляющие косинусы для данной прямой равны:
\[\left(\frac{m}{\sqrt{m^2 + 25}}, \frac{4}{\sqrt{m^2 + 25}}, \frac{-3}{\sqrt{m^2 + 25}}\right)\]