1. Какое утверждение верно: если два треугольника подобны, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия?

1. Утверждение верно: Если два треугольника подобны, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия. Подобие двух треугольников означает, что все их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Периметр треугольника - это сумма длин его сторон. Поскольку стороны подобных треугольников пропорциональны, их отношение будет равно коэффициенту подобия.
Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть два треугольника ABC и DEF. Если эти треугольники подобны, то мы можем записать соотношение сторон: \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\). Периметр треугольника ABC обозначим как \(P_1\), а периметр треугольника DEF - как \(P_2\). Тогда отношение периметров будет: \(\frac{P_1}{P_2} = \frac{AB + BC + AC}{DE + EF + DF}\). Поскольку \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\), мы можем заменить значения в формуле и получить \(\frac{AB + BC + AC}{DE + EF + DF} = \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\). Таким образом, отношение периметров равно коэффициенту подобия.

2. Утверждение верно: Если два треугольника подобны, то подобны и высоты треугольников, проведенные к соответствующим сторонам. Подобие треугольников означает, что все их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне и перпендикулярный этой стороне. Поскольку соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, их высоты также будут пропорциональны.
Например, рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если эти треугольники подобны, то мы можем записать соотношение сторон: \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\). Проведем высоты треугольников к соответствующим сторонам: h1 - высота треугольника ABC, h2 - высота треугольника DEF. Тогда отношение высот будет: \(\frac{h1}{h2} = \frac{AC}{DF}\). Поскольку \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\), мы можем заменить значения в формуле и получить \(\frac{h1}{h2} = \frac{AC}{DF}\). Таким образом, высоты треугольников подобны.

3. Утверждение верно: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. По определению подобия треугольников, стороны подобных треугольников пропорциональны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то третья сторона также будет пропорциональна.
Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольники ABC и DEF. Если сторона AB треугольника ABC пропорциональна сторонам DE и DF треугольника DEF, а сторона BC треугольника ABC пропорциональна сторонам EF и DF треугольника DEF, то мы можем записать соотношение сторон: \(\frac{AB}{DE} = \frac{AB}{DF} = \frac{BC}{EF} = \frac{BC}{DF}\). Из этого следует, что \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\), таким образом, два треугольника подобны.

4. Утверждение верно: Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Подобие треугольников означает, что все их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Площадь треугольника может быть вычислена по формуле: площадь = \(\frac{1}{2}\) * основание * высота. Поскольку стороны подобных треугольников пропорциональны, их высоты также будут пропорциональны.
Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольники ABC и DEF. Если эти треугольники подобны, то мы можем записать соотношение сторон: \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\). Пусть h1 - высота треугольника ABC, h2 - высота треугольника DEF. Тогда площади треугольников будут: \(S_1 = \frac{1}{2} * AC * h1\) и \(S_2 = \frac{1}{2} * DF * h2\). Отношение площадей будет: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} * AC * h1}{\frac{1}{2} * DF * h2} = \frac{AC}{DF} \cdot \frac{h1}{h2}\). Поскольку \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\) и \(\frac{h1}{h2}\) - отношение высот, мы можем заменить значения в формуле и получить \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{AC}{DF} \cdot \frac{h1}{h2} = \frac{AB}{DE} \cdot \frac{BC}{EF} \cdot \frac{h1}{h2}\). Таким образом, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.