1. Какое утверждение оказывается неверным, если АВСВ - параллелограмм? а) Прямая МN пересекает плоскость? б) Прямая

1. Если АВСВ - параллелограмм, то утверждение "б) Прямая СD не пересекает плоскость" оказывается неверным. Обоснование: В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому отрезки АВ и СD также параллельны. Если провести прямую СD, она будет лежать в плоскости параллелограмма АВСВ и пересекать ее.

2. Для проведения сечения куба АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, которая проходит через точки А1, С1 и О, будем использовать свойство плоскости, проходящей через три точки. Обоснование: Так как плоскость проходит через точки А1, С1 и О, то все точки, лежащие на этой плоскости, будут удовлетворять уравнению этой плоскости.

Для нахождения площади сечения нужно определить, какие ребра куба пересекаются этой плоскостью. Поскольку плоскость проходит через центр грани АВСД, она будет пересекать все четыре вертикальных ребра, проходящих через этот центр (то есть ребра, соединяющие вершины А и С, В и Д, А и В1, С и Д1). Построим плоскость и найдем точки пересечения.

\[
\text{Пусть ОА = ОВ = ОС = 5 см.}
\]

Так как плоскость проходит через точки А1, С1 и О, а центр грани АВСД является серединой ребра А1С1, то получаем, что А1ОС1 - равнобедренный прямоугольный треугольник.

\[
\text{А1ОС1 - прямоугольный треугольник, где А1О = 5 см и ОС1 = 5 см.}
\]

Так как А1С1 = 5 см, то площадь сечения будет равна площади треугольника А1ОС1.

\[
\text{Площадь сечения треугольника А1ОС1} = \frac{1}{2} \cdot \text{А1О} \cdot \text{ОС1}
\]

\[
\text{Площадь сечения треугольника А1ОС1} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5 \: см^2
\]

Таким образом, площадь сечения куба АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, которая проходит через точки А1, С1 и О, равна 12.5 \(см^2\).

3. Для нахождения значения DC в задаче о пересечении прямой МВ двух параллельных плоскостей М,А и М,С, зная значения МС, МВ и АВ, воспользуемся подобием треугольников. Обоснование: Если прямая МВ пересекает плоскости М,А и М,С, то треугольники АСD и ВCD будут подобны (по двум углам) треугольнику ВМС.

Обозначим DC как x (в см), а AС и ВС как h1 и h2 соответственно.

Из подобия треугольников получаем соотношение между сторонами:

\[
\frac{h1}{МС} = \frac{x}{МВ} \Rightarrow \frac{h1}{16} = \frac{x}{4} \Rightarrow h1 = \frac{x}{4} \cdot 16 = 4x \: (1)
\]

\[
\frac{h2}{МС} = \frac{x}{МВ} \Rightarrow \frac{h2}{16} = \frac{x}{4} \Rightarrow h2 = \frac{x}{4} \cdot 16 = 4x \: (2)
\]

Зная, что \(\text{MA} = \text{МС} + \text{СD}\) и \(\text{ВD} = \text{МС} + \text{CD}\), можно записать:

\[
\text{АВ} = \text{МА} + \text{ВD} = (\text{МС} + \text{СD}) + (\text{МС} + \text{CD}) = 2 \cdot \text{МС} + \text{CD}
\]

Подставим значения:

\[
16 + 16 = 2 \cdot 16 + \text{CD} \Rightarrow \text{CD} = 16 \: (3)
\]

Из уравнений (1) и (3) найдем значение x:

\[
h1 = 4x = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{4} = 4 \: (4)
\]

Таким образом, DC равно 4 см.