1. Какое соотношение сторон основания правильной треугольной призмы и треугольной пирамиды, если высота призмы

Конечно, я могу помочь с этими задачами! Давайте начнем с первой задачи.

1. Возьмем \(a\) как длину стороны основания правильной треугольной призмы, а \(h\) — высоту пирамиды. По условию, высота призмы \(h_{\text{призмы}}\) в два раза меньше высоты пирамиды \(h_{\text{пирамиды}}\):

\[h_{\text{призмы}} = \frac{1}{2} h_{\text{пирамиды}}\]

Объем призмы равен объему пирамиды:

\[V_{\text{призмы}} = V_{\text{пирамиды}}\]

Объем призмы определяется следующей формулой:

\[V_{\text{призмы}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h_{\text{призмы}}\]

Объем пирамиды рассчитывается по формуле:

\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[\frac{1}{3} S_{\text{основания призмы}} \cdot h_{\text{призмы}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания пирамиды}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\] \[(1)\]

\[h_{\text{призмы}} = \frac{1}{2} h_{\text{пирамиды}}\] \[(2)\]

Давайте решим эти уравнения последовательно.

Из уравнения (2) можно выразить \(h_{\text{призмы}}\) через \(h_{\text{пирамиды}}\):

\[h_{\text{призмы}} = \frac{1}{2} h_{\text{пирамиды}}\]

Далее, подставим это значение в уравнение (1):

\[\frac{1}{3} S_{\text{основания призмы}} \cdot \frac{1}{2} h_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания пирамиды}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на 3:

\[S_{\text{основания призмы}} \cdot \frac{1}{2} h_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания пирамиды}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\]

Теперь у нас есть соотношение сторон \(S_{\text{основания призмы}}\) и \(S_{\text{основания пирамиды}}\):

\[\frac{S_{\text{основания призмы}}}{S_{\text{основания пирамиды}}} = \frac{h_{\text{пирамиды}}}{\frac{1}{2} h_{\text{пирамиды}}} = 2\]

Таким образом, соотношение сторон \(S_{\text{основания призмы}}\) и \(S_{\text{основания пирамиды}}\) равно 2:1.

Теперь перейдем ко второй задаче. Для нахождения объема тела, полученного вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшего основания, нам необходимо использовать интеграл.

2. Обозначим меньшее основание прямоугольной трапеции как \(a\), большее основание как \(b\), а высоту как \(h\).

Для начала, нарисуем прямоугольную трапецию:

\[fig1\]

У нас есть два основания — \(a\) и \(b\). Чтобы решить задачу, мы должны вращать эту трапецию вокруг меньшего основания \(a\).

Для нахождения объема тела, полученного вращением, мы можем использовать следующую формулу:

\[V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^{2} dx\]

где \(\pi\) — математическая константа (~3.14159), \(f(x)\) — функция, описывающая сечение, и \(dx\) — элемент длины.

В нашем случае, \(f(x)\) будет равно \(f(x) = x\), так как сечение имеет форму прямой линии.

Таким образом, формула для нахождения объема будет следующей:

\[V = \pi \int_{a}^{b} x^{2} dx\]

Теперь мы можем рассчитать объем, используя эту формулу.

Получившийся результат, в зависимости от численных значений \(a\) и \(b\), будет объемом тела, полученного вращением прямоугольной трапеции.

Я надеюсь, эти пошаговые решения и объяснения помогут вам понять данные задачи!