1) Какое расстояние между плоскостями BC и EF, если плоскости трапеции ABCD и AEFD, имеющие общее основание

Давайте решим задачу по порядку.

1) Для начала определим, каким образом плоскости BC и EF находятся относительно основания трапеции ABCD и AEFD.
Из условия задачи известно, что плоскости BC и EF перпендикулярны друг другу и имеют общее основание AD. Это значит, что BC и EF являются высотами в соответствующих плоскостях ABCD и AEFD.

Далее мы должны определить расстояние между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями можно найти, используя формулу:

\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где A, B, C, D - это коэффициенты уравнения плоскости, а (x0, y0, z0) - это координаты точки на одной из плоскостей.

В данной задаче нам даны углы и длины отрезков, поэтому мы должны использовать геометрические свойства трапеции и треугольника.

У нас имеется треугольник ADC, в котором угол ADC равен 60 градусам. Мы знаем длину отрезка CD, который составляет 4 см. Используя формулу косинусов для нахождения длины отрезка AD, мы можем выразить AD:

\[AD = \sqrt{{CD^2 + AC^2 - 2 \cdot CD \cdot AC \cdot \cos(ADC)}}\]

Поскольку угол ADC равен 60 градусам, мы можем заменить его значением в радианах (\(\frac{{\pi}}{{3}}\)), а тоже самое с углом ADF.

Теперь обратимся к треугольнику ADF. У нас есть длина отрезка DF, которая составляет 8 см. Пользуясь формулой косинусов, можем найти длину отрезка AF:

\[AF = \sqrt{{DF^2 + AD^2 - 2 \cdot DF \cdot AD \cdot \cos(ADF)}}\]

Угол ADF также равен 60 градусам.

Таким образом, у нас есть все данные для определения прямоугольного треугольника ADF. В этом треугольнике сторона AF является гипотенузой, а AD и DF - это катеты.

По свойствам прямоугольного треугольника мы можем найти высоту BH, которая является проекцией стороны DF на сторону AD:

\[BH = AD \cdot \sin(ADF)\]

Теперь, чтобы найти расстояние между плоскостями BC и EF, мы можем использовать высоту BH и теорему Пифагора для треугольника BHC:

\[BC^2 = BH^2 + CH^2\]

Таким образом, мы можем рассчитать BC:

\[BC = \sqrt{{BH^2 + CH^2}}\]

Здесь CH - это расстояние между плоскостью BC и плоскостью ABCD, которое равно длине отрезка CD (4 см).

После вычисления BC, мы получим расстояние между плоскостями BC и EF.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время, чтобы рассчитать и предоставить Вам точный ответ.