1. Какое отношение радиусов кривизны траекторий ускоренных электронов в однородном магнитном поле, если первый электрон

1. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для радиуса кривизны траектории электрона, движущегося в магнитном поле. Формула имеет вид:

\[ R = \frac{mv}{eB} \]

где:
R - радиус кривизны,
m - масса электрона,
v - скорость электрона,
e - заряд электрона,
B - индукция магнитного поля.

У нас два электрона с разными напряжениями \( u \) и \( 4u \). Пусть радиус кривизны для первого электрона будет \( R_1 \), а для второго - \( R_2 \).

Так как электроны ускоряются под воздействием одного и того же магнитного поля, индукция которого равна \( B \), то можно сказать, что сила Лоренца, действующая на электроны, будет одинакова. Сила Лоренца выражается следующей формулой:

\[ F = evB \]

Таким образом, если у первого электрона напряжение \( u \), то его сила Лоренца равна \( euB \), а у второго электрона с напряжением \( 4u \) - \( e(4u)B \) или \( 4euB \).

Мы можем равенство сил Лоренца записать так:

\[ euB = 4euB \]

Теперь, используя формулу для радиуса кривизны, мы можем выразить отношение \( \frac{R_2}{R_1} \):

\[ \frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{mv}{e(4u)B}}{\frac{mv}{euB}} = \frac{euB}{4euB} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, отношение радиусов кривизны траекторий этих двух электронов равно \( \frac{1}{4} \).

2. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для периода обращения электрона в магнитном поле. Формула имеет вид:

\[ T = \frac{2\pi m}{eB} \]

где:
T - период обращения,
m - масса электрона,
e - заряд электрона,
B - индукция магнитного поля.

Мы знаем, что период обращения равен времени, умноженному на количество оборотов. Количество оборотов для электрона можно выразить через его скорость и радиус кривизны:

\[ N = \frac{vT}{2\pi R} \]

Мы хотим найти минимальное время \( \Delta t \), необходимое электрону для возврата в указанную точку. При этом мы можем сказать, что количество оборотов должно быть целым числом. Таким образом, минимальное время задается выражением:

\[ \Delta t = \frac{T}{N} = \frac{T}{\frac{vT}{2\pi R}} = \frac{2\pi R}{v} \]

Теперь, подставляя выражение для радиуса кривизны \( R = \frac{mv}{eB} \), получаем:

\[ \Delta t = \frac{2\pi \frac{mv}{eB}}{v} = \frac{2\pi m}{eB} \]

Итак, минимальное время, необходимое электрону для возврата в указанную точку, равно \( \frac{2\pi m}{eB} \).

Надеюсь, это помогло вам понять задачу и получить подробное решение. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!