1) Какое количество естественных (начиная с единицы) чисел n среди первых 1000 таково, что факториал числа n-1 делится

1) Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти количество естественных чисел n среди первых 1000, для которых факториал числа n-1 делится на n.

Давайте рассмотрим данную ситуацию пошагово:

- Когда n = 1, факториал 1-1 = 0. Так как 0 делится на любое число, получаем, что факториал числа 0 действительно делится на 1.

- Когда n = 2, факториал 2-1 = 1. Факториал 1 равен 1, и 1 делится на 2 без остатка.

- Когда n = 3, факториал 3-1 = 2. Факториал 2 равен 2, и 2 делится на 3 без остатка.

- Когда n = 4, факториал 4-1 = 3. Факториал 3 равен 6, и 6 делится на 4 без остатка.

- Когда n = 5, факториал 5-1 = 4. Факториал 4 равен 24, и 24 делится на 5 без остатка.

- Продолжая этот процесс, мы замечаем, что для каждого натурального числа n > 1, факториал числа n-1 всегда будет делиться на n без остатка.

Таким образом, в первых 1000 числах все числа начиная с 1 удовлетворяют условию задачи. Количество таких чисел равно 1000.

Ответ: 1000

2) В этой задаче мы имеем последовательность натуральных чисел от 0 до 2020, записанных подряд в строку на доске. Затем мы выполняем последовательность действий, где на каждом шаге суммируются все пары чисел, и результаты записываются в строку, после чего исходная строка стирается.

Давайте рассмотрим этот процесс пошагово:

- После первого шага, суммируются пары чисел: 0 + 1, 2 + 3, 4 + 5 и т.д. Результатом будет строка чисел 1, 3, 5, 7, ..., 2019.

- После второго шага, суммируются пары чисел: 1 + 3, 5 + 7, 9 + 11 и т.д. Результатом будет строка чисел 4, 12, 20, 28, ..., 2018.

- После третьего шага, суммируются пары чисел: 4 + 12, 20 + 28, 36 + 44 и т.д. Результатом будет строка чисел 16, 48, 80, 112, ..., 2016.

- Процесс продолжается таким образом, пока на доске не останется одно число.

Очевидно, что на каждом шаге, каждое число умножается на 4. Таким образом, после k-го шага число, записанное на доске, будет равно \(4^k\).

Нам нужно найти такое k, при котором \(4^k\) будет наибольшим, но меньше или равным 2020.

Пробуем различные значения для k: \(4^1 = 4\), \(4^2 = 16\), \(4^3 = 64\), \(4^4 = 256\), \(4^5 = 1024\).

Мы видим, что \(4^4 = 256\) является наибольшим значением, которое меньше или равно 2020.

Ответ: На доске останется одно число после выполнения 4 шагов.

Итак, исходя из последовательности действий, на доске останется одно число после выполнения 4 шагов.