1) Каким образом можно изобразить кривые индивидуального спроса для четырех потребителей с уравнениями: qd = 12-3р1

1) Для каждого потребителя задано уравнение спроса вида \(qd = 12 - p_i\), где \(qd\) - количество товара, потребляемого потребителем \(i\), а \(p_i\) - цена товара для потребителя \(i\).

Чтобы изобразить кривые индивидуального спроса для каждого потребителя, рассмотрим значения цен на товар в диапазоне от 0 до 12. Для этого составим таблицу, заменив \(p_i\) на значения из диапазона:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
p_i & qd_1 & qd_2 & qd_3 & qd_4 \\
\hline
0 & 12 & 12 & 12 & 12 \\
\hline
1 & 11 & 10 & 10.5 & 11 \\
\hline
2 & 10 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
3 & 9 & 6 & 7.5 & 9 \\
\hline
4 & 8 & 4 & 6 & 8 \\
\hline
5 & 7 & 2 & 4.5 & 7 \\
\hline
6 & 6 & 0 & 3 & 6 \\
\hline
7 & 5 & -2 & 1.5 & 5 \\
\hline
8 & 4 & -4 & 0 & 4 \\
\hline
9 & 3 & -6 & -1.5 & 3 \\
\hline
10 & 2 & -8 & -3 & 2 \\
\hline
11 & 1 & -10 & -4.5 & 1 \\
\hline
12 & 0 & -12 & -6 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график кривых индивидуального спроса, где на оси абсцисс будет откладываться цена \(p\), а на оси ординат - количество товара \(qd\):

\[qd_1 = 12 - p_1\]
\[qd_2 = 12 - 2p_2\]
\[qd_3 = 12 - 1.5p_3\]
\[qd_4 = 12 - p_4\]

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = Цена,
ylabel = Количество,
ymin = -12,
ymax = 15,
xmin = 0,
xmax = 12,
]
% qd1
\addplot[
domain=0:12,
color=blue,
mark = none,
samples=100,
]
{12 - x};
\addlegendentry{\(qd_1 = 12 - p_1\)}
% qd2
\addplot[
domain=0:6,
color=red,
mark = none,
samples=100,
]
{12 - 2*x};
\addlegendentry{\(qd_2 = 12 - 2p_2\)}
% qd3
\addplot[
domain=0:8,
color=green,
mark = none,
samples=100,
]
{12 - 1.5*x};
\addlegendentry{\(qd_3 = 12 - 1.5p_3\)}
% qd4
\addplot[
domain=0:12,
color=orange,
mark = none,
samples=100,
]
{12 - x};
\addlegendentry{\(qd_4 = 12 - p_4\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Теперь построим таблицу и график кривой общего рыночного спроса, объединив спрос всех четырех потребителей. Для этого сложим соответствующие значения спроса каждого потребителя:

\[
qd_{\text{рынок}} = qd_1 + qd_2 + qd_3 + qd_4
\]

Таблица потребления будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
p & qd_{\text{рынок}} \\
\hline
0 & 48 \\
\hline
1 & 40 \\
\hline
2 & 30 \\
\hline
3 & 24 \\
\hline
4 & 16 \\
\hline
5 & 12 \\
\hline
6 & 6 \\
\hline
7 & 8 \\
\hline
8 & 4 \\
\hline
9 & -1 \\
\hline
10 & -6 \\
\hline
11 & -12 \\
\hline
12 & -12 \\
\hline
\end{array}
\]

График кривой общего рыночного спроса будет агрегацией кривых индивидуального спроса:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = Цена,
ylabel = Объем спроса,
ymin = -15,
ymax = 50,
xmin = 0,
xmax = 12,
]
% qd market
\addplot[
domain=0:12,
color=purple,
mark = none,
samples=100,
]
{12 - x + 12 - 2*x + 12 - 1.5*x + 12 - x};
\addlegendentry{\(qd_{\text{рынок}}\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

2) Для описания зависимости общих издержек конкурентной фирмы от объема производства можно использовать функцию общих издержек \(TC = 100 + 4q + 2q^2\), где \(TC\) - общие издержки, \(q\) - объем производства.

Чтобы найти функции постоянных издержек (FC), переменных издержек (VC), средних издержек (AC) и предельных издержек (MC), проведем следующие вычисления:

- Постоянные издержки (FC) - это часть общих издержек, которая не зависит от объема производства и остается постоянной. В данной функции постоянные издержки равны 100 руб.

- Переменные издержки (VC) - это часть общих издержек, которая меняется пропорционально объему производства. В данной функции переменные издержки равны 4q + 2q^2.

- Средние издержки (AC) - это отношение общих издержек к объему производства. Для их нахождения разделим общие издержки (TC) на объем производства (q):

\[
AC = \frac{TC}{q} = \frac{100 + 4q + 2q^2}{q}
\]

- Предельные издержки (MC) - это изменение общих издержек при изменении объема производства на единицу. В данной функции предельные издержки равны производной функции общих издержек по объему производства:

\[
MC = \frac{dTC}{dq} = \frac{d}{dq}(100 + 4q + 2q^2)
\]

Вычислим производную функции общих издержек:

\[
\frac{dTC}{dq} = 4 + 4q
\]

Теперь у нас есть все функции:

- Постоянные издержки (FC) = 100

- Переменные издержки (VC) = 4q + 2q^2

- Средние издержки (AC) = \(\frac{TC}{q} = \frac{100 + 4q + 2q^2}{q}\)

- Предельные издержки (MC) = \(\frac{dTC}{dq} = 4 + 4q\)

Предположим, что цена продукта фирмы составляет 36 рублей. Чтобы определить оптимальный объем производства и величину полученной прибыли, нужно учесть следующую формулу:

\[
\text{Прибыль} = \text{Выручка} - \text{Издержки}
\]

где

\[
\text{Выручка} = \text{Цена продукта} \times \text{Объем производства} = 36q
\]

\[
\text{Издержки} = \text{FC} + \text{VC} = 100 + (4q + 2q^2)
\]

Таким образом,

\[
\text{Прибыль} = 36q - (100 + 4q + 2q^2)
\]

Оптимальный объем производства можно найти, найдя количество, при котором прибыль максимальна. Для этого можно взять первую производную прибыли и найти его корни (условия экстремума):

\[
\frac{d(\text{Прибыль})}{dq} = \frac{d(36q - (100 + 4q + 2q^2))}{dq} = 0
\]

\[
36 - 4 - 4q = 0
\]

\[
-4q = -32
\]

\[
q = 8
\]

Таким образом, оптимальный объем производства составляет 8 единиц. Для определения величины полученной прибыли воспользуемся формулой прибыли и найдем прибыль при оптимальном объеме производства:

\[
\text{Прибыль} = 36q - (100 + 4q + 2q^2) = 36 \times 8 - (100 + 4 \times 8 + 2 \times 8^2) = 288 - (100 + 32 + 128) = 288 - 260 = 28
\]

Полученная прибыль при оптимальном объеме производства составляет 28 рублей.