1. Какие значения переменной делают выражение 5/х-2 осмысленным? 2. Упростите следующие дроби: 26а⁵в⁸/39а⁷в⁴

1. Чтобы выражение \( \frac{5}{x-2} \) было осмысленным, значением переменной \( x \) не должно быть равно 2. Это потому, что в знаменателе у нас есть разность \( x-2 \), и деление на ноль невозможно. Таким образом, все значения переменной, за исключением 2, сделают это выражение осмысленным.

2. Давайте упростим каждую из данных дробей по отдельности:
- \( \frac{26a^5b^8}{39a^7b^4} \):
Чтобы упростить эту дробь, мы можем сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). В данном случае, НОД числителя и знаменателя - это \( 13a^2 \). Таким образом, упрощенная дробь будет: \( \frac{2ab^8}{3a^5b^4} \).
- \( \frac{10mn-25n}{5mn} \):
В этом случае, мы можем сократить члены \( 10mn \) и \( 25n \) на общий множитель \( 5n \). Упрощенная дробь будет: \( 2m-5 \).
- \( \frac{x^2-16}{2x+8} \):
Для упрощения этой дроби, мы можем разложить \( x^2-16 \) на сомножители. Разность квадратов дает нам \((x-4)(x+4)\). Таким образом, упрощенная дробь будет: \( \frac{(x-4)(x+4)}{2(x+4)} \). Мы можем сократить \((x+4)\) в числителе и знаменателе и получим окончательный ответ: \( \frac{x-4}{2} \).
- \( \frac{x^2-18x+81}{81-x^2} \):
Подобно предыдущей дроби, мы можем разложить \( x^2-18x+81 \) на сомножители. Это является квадратом разности \((x-9)^2\). Таким образом, упрощенная дробь будет: \( \frac{(x-9)^2}{(9-x)(9+x)} \). Мы можем упростить \((9-x)\) в знаменателе и получим окончательный ответ: \( -\frac{(x-9)}{(x+9)} \).

3. Чтобы сократить данное выражение, мы должны сложить все дроби по общему знаменателю. Знаменатель в этих дробях имеет вид \( 4a-20 \), а знаменатель последней дроби - \( a^2-25 \). Давайте перейдем к шагам:
- \( \frac{a-15}{4a-20} - \frac{a-5}{4a-20} + \frac{30}{a^2-25} \):
Первые две дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители и записать это в одну дробь:
\( \frac{(a-15)-(a-5)}{4a-20} + \frac{30}{a^2-25} \).
После вычитания числителей, получаем \( \frac{-10}{4a-20} + \frac{30}{a^2-25} \).
Теперь, чтобы объединить эти две дроби в одну, мы должны привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (4a-20)(a^2-25) \).
- \( \frac{-10}{4a-20} + \frac{30}{a^2-25} \):
Для первой дроби мы видим, что \( 4a-20 \) можно упростить до \( 4(a-5) \). Таким образом, первая дробь становится \( \frac{-10}{4(a-5)} \).
Вторая дробь уже имеет общий знаменатель. Поэтому мы можем просто сложить числители:
\( \frac{-10}{4(a-5)} + \frac{30}{a^2-25} = \frac{-10+30}{4(a-5)} + \frac{30}{a^2-25} = \frac{20}{4(a-5)} + \frac{30}{a^2-25} \).
Чтобы завершить этот процесс, мы можем объединить две дроби в одну с общим знаменателем:
\( \frac{20}{4(a-5)} + \frac{30}{a^2-25} = \frac{20(a^2-25)}{4(a-5)(a^2-25)} + \frac{30(4(a-5))}{4(a-5)(a^2-25)} \).
Произведение числителя и знаменателя первой дроби дает нам \( 20(a^2-25) \), а произведение числителя и знаменателя второй дроби - \( 30(4(a-5)) \).
Теперь мы можем сложить числители:
\[
\frac{20(a^2-25) + 30(4(a-5))}{4(a-5)(a^2-25)}
\].
Дальше мы можем раскрыть скобки и упростить числитель:
\[
\frac{20a^2 - 500 + 120a - 600}{4(a-5)(a^2-25)}
\].
Сократим подобные слагаемые в числителе:
\[
\frac{20a^2 + 120a - 1100}{4(a-5)(a^2-25)}
\].
Таким образом, упрощенное выражение будет: \( \frac{5a^2 + 30a - 275}{(a-5)(a^2-25)} \).

4. Для упрощения данных выражений, давайте решим каждое по отдельности:
- \( \frac{8a^3 + 100a}{a^3 - 125} - \frac{4a^2}{a^2 - 5a + 25} \):
Сначала нам нужно упростить числитель и знаменатель каждой дроби. Здесь мы видим разность кубов в числителе первой дроби: \( 8a^3 + 100a = 2a(4a^2 + 50) = 2a((2a)^2 + 5^2) = 2a(2a + 5)(2a - 5) \).
Также мы можем факторизовать знаменатель первой дроби: \( a^3 - 125 = (a)^3 - (5)^3 = (a - 5)(a^2 + 5a + 25) \).
В числителе второй дроби мы также можем факторизовать: \( 4a^2 = 4(a^2) = 2^2(a^2) = (2a)^2 \).
Знаменатель второй дроби не может быть факторизован и упрощен дальше.
Таким образом, упрощенные выражения будут:
Для первой дроби: \( \frac{2a(2a + 5)(2a - 5)}{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)} \).
Для второй дроби: \( \frac{4a^2}{a^2 - 5a + 25} \).
Мы можем объединить эти две дроби, приведя их к общему знаменателю:
\[
\frac{2a(2a + 5)(2a - 5) - (4a^2)(a - 5)}{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)}
\].
Теперь мы можем раскрыть скобки и упростить числитель:
\[
\frac{8a^3 - 20a^2 + 20a(2a + 5) - 4a^2(a - 5)}{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)}
\].
Дальше мы можем сгруппировать подобные слагаемые в числителе:
\[
\frac{8a^3 - 20a^2 + 40a^2 + 100a - 4a^3 + 20a^2}{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)}
\].
Сократим подобные слагаемые в числителе:
\[
\frac{4a^3 + 120a}{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)}
\].
Таким образом, упрощенное выражение будет: \( \frac{4a(a^2 + 30)}{(a - 5)(a^2 + 5a + 25)} \).