1. Какие значения имеют углы в правильном тридцатиугольнике? 2. Чему равна площадь круга, описанного вокруг квадрата

1. В правильном тридцатиугольнике все углы равны 120 градусов. Это можно объяснить следующим образом: сумма всех углов в любом многоугольнике равна \(180 \times (n-2)\) градусов, где \(n\) - количество сторон многоугольника. В случае треугольника (\(n=3\)) это будет \(180 \times (3-2) = 180\) градусов. В правильном треугольнике каждый угол равен другим, поэтому все углы равны \(\frac{180}{3} = 60\) градусов.

2. Площадь круга, описанного вокруг квадрата со стороной 16 см, можно найти, зная, что диаметр круга равен длине стороны квадрата. Диаметр равен 16 см, а значит радиус будет равен половине диаметра, то есть \(16/2 = 8\) см. Формула для площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3,14, \(r\) - радиус круга. Вставляем известные значения: \(S = 3,14 \times 8^2 = 3,14 \times 64 = 200,96\) см². Таким образом, площадь круга равна примерно 200,96 квадратных сантиметров.

3. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус которой описан вокруг квадрата со стороной 36 см, можно найти, зная, что радиус окружности равен половине длины стороны треугольника. Радиус равен 36 см, а значит, длина стороны треугольника будет равна удвоенному радиусу, то есть \(36 \times 2 = 72\) см.

4. 1) Значение радиуса окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, можно найти, зная, что радиус равен половине длины стороны многоугольника, если угол между сторонами многоугольника при вершине равен 360 градусов, деленным на число сторон многоугольника. Если сторона многоугольника равна 16 см, то радиус будет равен половине этой длины, то есть \(16/2 = 8\) см.
2) Чтобы найти количество сторон многоугольника, зная радиус окружности, вписанной в этот многоугольник, нужно воспользоваться формулой, которая связывает радиус, количество сторон и длину стороны многоугольника: \(r = \frac{s}{2 \times \sin(\frac{360}{n})}\), где \(r\) - радиус, \(s\) - длина стороны многоугольника, \(n\) - количество сторон многоугольника. Вставляем известные значения: \(12 = \frac{8}{\sin(\frac{360}{n})}\). Решим уравнение: \(\sin(\frac{360}{n}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). Находим обратный синус от этой дроби: \(\frac{360}{n} = \arcsin(\frac{2}{3})\). Подставляем численное значение: \(n = \frac{360}{\arcsin(\frac{2}{3})}\). Ответ: \(n \approx 6.88\). Получается, что количество сторон многоугольника будет около 6.88, но, так как количество сторон многоугольника должно быть целым числом, то ближайшее целое число будет 7.

5. Длины дуг, на которые делится описанная окружность, если сторона треугольника равна 10, можно найти, зная, что вписанный угол треугольника равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге. Угол между сторонами треугольника при вершине равен равностороннему углу, то есть 60 градусов. Центральный угол будет в два раза больше, то есть 120 градусов. Таким образом, каждая дуга будет равна 120 градусам.