1) Какие векторы dm и nm можно выразить через векторы a и b, если в параллелограмме abcd точки m и n лежат на сторонах

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами.

1) Чтобы выразить векторы dm и nm через векторы a и b, давайте рассмотрим треугольник bcn, который подобен треугольнику abd, так как углы напротив одинаковых сторон равны. Из подобия треугольников, мы можем сделать следующее соотношение:

\[\frac{{|nm|}}{{|ad|}} = \frac{{|cn|}}{{|bd|}} = \frac{{1}}{{3}}\]

Также, из условия, мы знаем что \(\frac{{|bm|}}{{|mc|}} = \frac{{3}}{{1}}\) и \(\frac{{|cn|}}{{|nd|}} = \frac{{1}}{{2}}\). Мы можем найти отношения длин сторон:

\[\frac{{|ad|}}{{|mc|}} = \frac{{3}}{{1}} \implies \frac{{|ad|}}{{|bd| + |dc|}} = 3\]
\[\frac{{|ad|}}{{|nd|}} = \frac{{1}}{{2}} \implies \frac{{|ad|}}{{|bd| + |dc|}} = \frac{{1}}{{2}}\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем длины сторон:

\[\frac{{|bd|}}{{|dc|}} = \frac{{3}}{{1}} \implies \frac{{|bd|}}{{|cd|}} = \frac{{3}}{{4}} \implies \frac{{|bd| + |dc|}}{{|cd|}} = \frac{{7}}{{4}}\]

Теперь мы можем выразить векторы dm и nm через векторы a и b:

\[dm = \frac{{|bd|}}{{|cd|}} \cdot b = \frac{{7}}{{4}} \cdot b\]
\[nm = \frac{{|cn|}}{{|ad|}} \cdot a + \frac{{|nd|}}{{|ad|}} \cdot d = \frac{{1}}{{3}} \cdot a + \frac{{1}}{{2}} \cdot d\]

2) Чтобы определить, коллинеарны ли векторы nm и \(\frac{{1}}{{4}}ad - \frac{{1}}{{3}}ab\), мы можем рассмотреть их координаты. Если координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны.

Вектор nm имеет координаты \(\left(\frac{{1}}{{3}}, 0, -\frac{{1}}{{2}}\right)\), а вектор \(\frac{{1}}{{4}}ad - \frac{{1}}{{3}}ab\) имеет координаты \(\left(\frac{{1}}{{4}}, \frac{{3}}{{4}}, 0\right)\).

Мы видим, что координаты этих векторов не пропорциональны, следовательно, векторы nm и \(\frac{{1}}{{4}}ad - \frac{{1}}{{3}}ab\) не являются коллинеарными в данной ситуации.