1. Какие уравнения у касательной и нормали, проведенных к графику функции f(x)=x+3x² в точке с абсциссой x=-1? 2. Какие

Конечно, я могу помочь с этими задачами! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и найдем подробные ответы.

1. Функция \(f(x) = x + 3x^2\) имеет касательную и нормаль в точке с абсциссой \(x = -1\).

Для нахождения уравнения касательной и нормали используется производная функции в данной точке. Давайте первым делом найдем производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = 1 + 6x\]

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, заменим \(x\) на \(-1\) в формуле производной и используем точку \((-1, f(-1))\) для нахождения углового коэффициента (производной) касательной:

\[k_{\text{касс}} = f"(-1) = 1 + 6(-1) = -5\]

Зная угловой коэффициент касательной, мы можем записать его уравнение, используя точку \((-1, f(-1))\):

\[y - f(-1) = -5(x - (-1))\]

Теперь найдем значение функции \(f\) в точке \(x = -1\):

\[f(-1) = (-1) + 3(-1)^2 = -2\]

Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид:

\[y + 2 = -5(x + 1)\]

А чтобы найти уравнение нормали, мы знаем, что произведение угловых коэффициентов касательной и нормали равно -1. Таким образом, угловой коэффициент нормали равен \(\frac{1}{5}\).

Используя точку \((-1, f(-1))\) и угловой коэффициент нормали, мы можем записать уравнение нормали:

\[y + 2 = \frac{1}{5}(x + 1)\]

2. Рассмотрим задачу о промежутках монотонности для следующих функций:

а) \(y = x^3 - 3x + 2\)

Для нахождения промежутков монотонности мы также будем использовать производную функции. Найдем производную функции \(y\):

\[y" = 3x^2 - 3\]

Производная равна нулю при \(x = \pm 1\). Мы знаем, что если производная меняет знак на интервале, то функция монотонно меняет свой знак на этом интервале.

Анализируя знаки производной, мы можем получить следующие промежутки монотонности:

\((-\infty, -1)\) - функция убывает

\((-1, 1)\) - функция возрастает

\((1, +\infty)\) - функция убывает

б) \(y = 5x^2 - 15x - 1\)

Найдем производную функции \(y\):

\[y" = 10x - 15\]

Производная равна нулю при \(x = \frac{3}{2}\). Проведем анализ знаков производной:

\((-\infty, \frac{3}{2})\) - функция убывает

\((\frac{3}{2}, +\infty)\) - функция возрастает

в) \(y = x^3 + 2x\)

Найдем производную функции \(y\):

\[y" = 3x^2 + 2\]

Исходя из знаков производной, мы можем заключить, что функция \(y\) возрастает на всей числовой прямой.

г) \(y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3\)

Найдем производную функции \(y\):

\[y" = 45 - 6x - 3x^2\]

Производная равна нулю при \(x = -3\) и \(x = 5\).

\((-\infty, -3)\) - функция убывает

\((-3, 5)\) - функция возрастает

\((5, +\infty)\) - функция убывает

3. Наконец, найдем местоположение экстремумов для данных функций:

а) \(y = 0.2x^5 - \frac{4}{3}x^3\)

Для нахождения экстремумов, мы должны приравнять производную функции к нулю и решить получившееся уравнение:

\[y" = x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x - 2)(x + 2)\]

Таким образом, экстремумы находятся при \(x = -2, x = 0, x = 2\). Для определения типа экстремумов нам необходимо проанализировать знаки второй производной. Найдем вторую производную:

\[y"" = 4x^3 - 8x\]

Подставим значения \(x\) экстремальных точек во вторую производную:

При \(x = -2\) получаем \(y""(-2) = 4(-2)^3 - 8(-2) = -32\) - точка имеет локальный максимум.

При \(x = 0\) получаем \(y""(0) = 4(0)^3 - 8(0) = 0\) - точка не является экстремумом.

При \(x = 2\) получаем \(y""(2) = 4(2)^3 - 8(2) = 32\) - точка имеет локальный минимум.

б) \(y = 7 + 12x - x^3\)

Найдем производную функции \(y\):

\[y" = 12 - 3x^2\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\]

После нахождения критических точек, найдем вторую производную:

\[y"" = -6x\]

Подставим значения \(x\) критических точек во вторую производную:

При \(x = -2\) получаем \(y""(-2) = -6(-2) = 12\) - точка имеет локальный минимум.

При \(x = 2\) получаем \(y""(2) = -6(2) = -12\) - точка имеет локальный максимум.

Вот такие подробные ответы на ваши задачи. Если у вас возникнут еще вопросы или понадобится помощь по другим задачам, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!