1) Какие координаты имеет вектор АВ, если точка А имеет координаты (12;5) и точка В имеет координаты (6;1)? 2) Если

Решение:

1) Чтобы найти координаты вектора АВ, мы должны вычислить разницу между координатами точек В и А. Итак, для данной задачи:

Координаты вектора АВ:
\[\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\]
\[\vec{AB} = (6 - 12, 1 - 5)\]
\[\vec{AB} = (-6, -4)\]

Таким образом, координаты вектора АВ равны (-6, -4).

2) Учитывая, что векторы АВ и СD равны, мы можем предположить, что начало вектора СD совпадает с концом вектора АВ. То есть, начало вектора СD имеет те же самые координаты, что и точка В.

Координаты начала вектора СD:
\[\vec{CD} = (x_2, y_2)\]
\[\vec{CD} = (6, -4)\]

Таким образом, координаты начала вектора СD равны (6, -4).

3) Чтобы найти длину вектора АВ, мы должны использовать формулу расстояния между двумя точками в пространстве.

Длина вектора АВ:
\[|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[|\vec{AB}| = \sqrt{(4 - 7)^2 + (9 - (-3))^2}\]
\[|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (12)^2}\]
\[|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 144}\]
\[|\vec{AB}| = \sqrt{153}\]
\[|\vec{AB}| \approx 12.37\]

Таким образом, длина вектора АВ равна примерно 12.37.

4) Для вычисления скалярного произведения векторов и угла между ними, мы должны использовать формулы:

Скалярное произведение:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 5\]
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 + (-10)\]
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\]

Угол между векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]
\[\cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{4^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 5^2}}\]
\[\cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{16 + 4} \cdot \sqrt{9 + 25}}\]
\[\cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}}\]
\[\cos(\theta) \approx \frac{2}{8.492} \approx 0.2359\]
\[\theta \approx \cos^{-1}(0.2359) \approx 77.34^\circ\]

Таким образом, скалярное произведение векторов равно 2, а угол между ними примерно равен 77.34 градусам.