1. Какая из следующих функций является первообразной для функции у = 3х3 – 2х ? А) В) х4 – 2х2 + 3; Б) х4 – х2

1. Для решения этой задачи, нам необходимо найти первообразную (интеграл) функции \(y = 3x^3 - 2x\).

Варианты ответа:
А) \(x^4 - 2x^2 + 3\);
Б) \(x^4 - x^2\);
Г) другой вариант ответа.

Чтобы определить правильный ответ, мы рассмотрим каждый вариант по порядку и проверим, является ли он первообразной для исходной функции.

а) Первообразная функция \(x^4 - 2x^2 + 3\):
Чтобы проверить, нужно продифференцировать эту функцию и убедиться, что получим исходную функцию \(3x^3 - 2x\).

Дифференцируем \(x^4 - 2x^2 + 3\):
\(\frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x\)
Это не равно \(3x^3 - 2x\), поэтому этот вариант не является первообразной функцией.

б) Первообразная функция \(x^4 - x^2\):
Продифференцируем ее:
\(\frac{d}{dx}(x^4 - x^2) = 4x^3 - 2x\)
Это равно исходной функции \(3x^3 - 2x\), поэтому этот вариант является первообразной.

Таким образом, ответ на задачу 1: Б) \(x^4 - x^2\).

2. Для функции \(y = \cos^2x\), нам нужно найти общий вид первообразной \(F(x)\).

Варианты ответа:
А) \(-\sin^2x + c\);
Б) \(\sin^2x + c\);
Г) \(2\sin^2x + c\).

Чтобы определить правильный ответ, мы продифференцируем каждый из вариантов и убедимся, что получим исходную функцию \(\cos^2x\).

а) Первообразная функция \(-\sin^2x + c\):
Дифференцируем \(-\sin^2x + c\):
\(\frac{d}{dx}(-\sin^2x + c) = -2\sin x \cos x\)
Это не равно \(\cos^2x\), поэтому этот вариант не является первообразной функцией.

б) Первообразная функция \(\sin^2x + c\):
Дифференцируем \(\sin^2x + c\):
\(\frac{d}{dx}(\sin^2x + c) = 2\sin x \cos x\)
Это равно \(\cos^2x\), поэтому этот вариант является первообразной.

Таким образом, ответ на задачу 2: Б) \(\sin^2x + c\).

3. Мы должны найти значение \(F(1)\) для функции \(f(x) = x^3 - 4x + 1\).

Варианты ответа:
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) другой вариант ответа.

Чтобы найти это значение, нам нужно найти первообразную функцию \(F(x)\) функции \(f(x)\) и затем подставить значение аргумента \(x = 1\).

Для функции \(f(x) = x^3 - 4x + 1\) первообразной будет функция \(F(x) = \frac{1}{4} x^4 - 2x^2 + x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь подставим \(x = 1\):
\(F(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 1 + C = \frac{1}{4} - 2 + 1 + C = -\frac{7}{4} + C\)

Таким образом, ответ на задачу 3: Г) другой вариант ответа (так как значение \(F(1)\) зависит от постоянной \(C\)).

4. Нам нужно найти первообразную функцию \(y = 3 + 4x^3\), график которой проходит через точку M(1, 1).

Варианты ответа:
А) \(y = x^4 + 3x - 3\);
В) \(y = 4x^4 + 3x - 7\);
Б) \(y = x^4\);
Г) другой вариант ответа.

Чтобы найти правильный ответ, мы найдем первообразную функцию для \(y = 3 + 4x^3\) и проверим, проходит ли график этой функции через точку M(1, 1).

Первообразная функция для \(y = 3 + 4x^3\) будет \(F(x) = x^4 + x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь подставим \(x = 1\) и \(y = 1\) для этой функции:
\(1 = 1^4 + 1 + C\)
\(\Rightarrow 1 = 1 + 1 + C\)
\(\Rightarrow 1 = 2 + C\)
\(\Rightarrow C = -1\)

Таким образом, первообразная функция будет \(y = x^4 + x - 1\).

Ответ на задачу 4: А) \(y = x^4 + 3x - 3\).

5. Нам нужно определить, какой из этих интегралов невозможно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислить интегралы (определенные или неопределенные) многих функций, однако она не может вычислить интегралы всех возможных функций.

Варианты ответа не указаны, но для указанных интегралов мы можем проверить, существует ли их первообразная.

Уточните, пожалуйста, какие конкретно интегралы из списка вам предоставлены, чтобы я могу помочь вам с ответом на этот вопрос.