1) Как найти точку экстремума в функции y=2x³-x²-4x+5? 2) Как найти интервал монотонности в функции y=6x-x²-7?

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1) Чтобы найти точку экстремума в функции \(y=2x^3-x^2-4x+5\), мы сначала найдём её производную. Для этого возьмём функцию \(y\) и возьмём её производную по \(x\):

\[y" = \frac{d}{dx}(2x^3-x^2-4x+5)\]

Чтобы найти производную, мы возьмём производную каждого члена по отдельности. Производная члена \(2x^3\) равна \(6x^2\). Производная члена \(-x^2\) равна \(-2x\). Производная члена \(-4x\) равна \(-4\). И производная константы \(5\) равна \(0\).

Теперь объединим все эти производные:

\[y" = 6x^2 - 2x - 4\]

Чтобы найти точку экстремума, мы должны найти значения \(x\), при которых производная равна нулю. Решим уравнение:

\[6x^2 - 2x - 4 = 0\]

Мы можем решить это уравнение, используя квадратную формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас \(a = 6\), \(b = -2\), и \(c = -4\). Подставим значения:

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 6 \cdot (-4)}}{2 \cdot 6}\]

Выполнив вычисления, получим два значения для \(x\): \(x_1 \approx 0.86\) и \(x_2 \approx -1.19\).

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y=2x^3-x^2-4x+5\):

\[y_1 \approx 4.8\] and \(y_2 \approx 9.6\).

Итак, точки экстремума этой функции: \((0.86, 4.8)\) и \((-1.19, 9.6)\).

2) Чтобы найти интервалы монотонности в функции \(y=6x-x^2-7\), мы снова найдём производную этой функции \(y"\). Решим уравнение \(y" = 0\).

\[y" = \frac{d}{dx}(6x-x^2-7)\]

Производная члена \(6x\) равна \(6\), а производная члена \(-x^2\) равна \(-2x\). И так как производная константы \(-7\) равна \(0\), то:

\[y" = 6 - 2x = 0\]

Решим это уравнение:

\[6 - 2x = 0\]

Разрешая его для \(x\), мы получим одно значение \(x = 3\).

Чтобы определить интервалы монотонности, нам нужно проанализировать знак производной \(y"\) на различных интервалах числовой оси.

Проверим интервал \((-\infty, 3)\). Для этого возьмём случайное значение из этого интервала, например, \(x = 0\). Подставим его в производную \(y"\):

\[y" = 6 - 2 \cdot 0 = 6\]

Поскольку производная \(y"\) положительна на интервале \((-\infty, 3)\), это означает, что функция \(y\) возрастает на этом интервале.

Теперь проверим интервал \((3, +\infty)\). Подставим случайное значение из этого интервала, например, \(x = 4\), в производную \(y"\):

\[y" = 6 - 2 \cdot 4 = -2\]

Поскольку производная \(y"\) отрицательна на интервале \((3, +\infty)\), это означает, что функция \(y\) убывает на этом интервале.

Таким образом, получаем интервалы монотонности функции \(y=6x-x^2-7\): функция возрастает на интервале \((-\infty, 3)\) и убывает на интервале \((3, +\infty)\).

3) Чтобы найти производную функции \(y=x^2 \cdot (2\sin{x}+3)\), мы применим правило производной произведения функций \(uv"\) и правило производной синуса \(\frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\).

\[y" = \frac{d}{dx} (x^2 \cdot (2\sin{x}+3))\]

Применим правило производной произведения функций. Первая функция \(u = x^2\), а вторая функция \(v = 2\sin{x}+3\). Производная первой функции равна \(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\), а производная второй функции равна \(\frac{d}{dx}(2\sin{x}+3) = 2\cos{x}\).

Применяя правило производной произведения функций, получаем:

\[y" = u"v + uv"\]

\[y" = (2x)(2\sin{x}+3) + (x^2)(2\cos{x})\]

Упростим это выражение:

\[y" = 4x\sin{x} + 6x + 2x^2\cos{x}\]

Таким образом, производная функции \(y=x^2 \cdot (2\sin{x}+3)\) равна \(4x\sin{x} + 6x + 2x^2\cos{x}\).