1. Как найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=t0, если она движется прямолинейно по закону

Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Для начала найдем скорость материальной точки в момент времени t=t0. Для этого нам потребуется найти производную функции S(t) по времени и подставить значение t0=1.

Запишем формулу скорости \(v(t) = \frac{{dS(t)}}{{dt}}\).
Для нахождения производной, рассчитаем ее по формуле производной произведения функций: \(\frac{{d}}{{dt}}[f(t)g(t)] = \frac{{df(t)}}{{dt}}g(t) + f(t)\frac{{dg(t)}}{{dt}}\)

Раскроем скобки функции S(t):
\(S(t) = (6-5t)(5t+2)-10 = 30t + 12 - 25t^2 - 10t - 10 = -25t^2 + 20t + 2\)

Теперь возьмем производную S(t) по времени:
\(\frac{{dS(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}[-25t^2 + 20t + 2] = -50t + 20\)

Подставим t0=1 в полученное выражение:
\(v(t0) = -50 \cdot 1 + 20 = -30\) (единиц скорости, которые не указаны)

Итак, скорость материальной точки в момент времени t=t0 равна -30 единиц скорости (указанных в условии не было).

Теперь давайте найдем ускорение материальной точки. Для этого возьмем первую производную скорости v(t) по времени и аналогично подставим значение t0=1.

Запишем формулу ускорения \(a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}\).

Будем дифференцировать скорость: \(v(t) = -50t + 20\),
\(\frac{{dv(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}[-50t + 20] = -50\)

Мы получили, что ускорение материальной точки в момент времени t=t0 равно -50 единиц ускорения (указанных в условии не было).

2. Теперь рассмотрим вторую задачу, где нужно найти скорость и силу, действующую на материальную точку в момент времени t.

Найдем сначала скорость точки по формуле \(v(t) = \frac{{dS(t)}}{{dt}}\).

Заменим t на указанное значение и подставим функцию S(t):
\(S(t) = 0.5 + \frac{{t}}{{2}} - \frac{{t^2}}{{4}} + \frac{{1}}{{6}}t^3\), \(t = 3\)

Вычислим производную S(t) по времени:
\(\frac{{dS(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}[0.5 + \frac{{t}}{{2}} - \frac{{t^2}}{{4}} + \frac{{1}}{{6}}t^3]\)

Рассчитаем производные от каждого слагаемого:
\(\frac{{dS(t)}}{{dt}} = 1 - \frac{{t}}{{2}} - \frac{{t}}{{2}} + \frac{{1}}{{2}}t^2 = 1 - t + \frac{{1}}{{2}}t^2\)

Подставим значение t=3 в полученное выражение:
\(v(t) = 1 - 3 + \frac{{1}}{{2}} \cdot 3^2 = -1 + \frac{{1}}{{2}} \cdot 9 = -1 + \frac{{1}}{{2}} \cdot 9 = -1 + \frac{{9}}{{2}} = -1 + 4.5 = 3.5\) (единиц скорости, которые не указаны)

Скорость материальной точки в момент времени t=3 составляет 3.5 единиц скорости (указанных в условии не было).

Теперь давайте определим силу, действующую на материальную точку в момент времени t.

Формула для силы, действующей на материальную точку, связана со вторым законом Ньютона: \(F = m \cdot a\).

У нас указана масса материальной точки m=4 кг, а ускорение a(t) мы нашли при решении первого вопроса и оно равно \(a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}} = -50\). Подставим известные значения в формулу силы:

\(F = 4 \cdot (-50)\) (единиц силы, которые не указаны)

Таким образом, сила, действующая на материальную точку в момент времени t=3, составляет -200 единиц силы (указанных в условии не было).

3. Наконец, рассмотрим третью задачу, где нужно найти угловую скорость вращения тела в зависимости от времени, если угол поворота тела вокруг оси задается законом \(У(t)\) и измеряется в радианах, а t – в секундах.

Угловая скорость (\(\omega(t)\)) определяется как первая производная угла поворота (\(У(t)\)) по времени (\(t\)).

Запишем формулу для угловой скорости: \(\omega(t) = \frac{{dУ(t)}}{{dt}}\).

Вычислим производную угла поворота по времени:
\(\frac{{dУ(t)}}{{dt}}\)

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать функциональное выражение \(У(t)\). Если оно известно, пожалуйста, предоставьте его, и я смогу помочь вам дальше, объяснив шаги решения для данной функции \(У(t)\).