1. Как найти наименьшее значение функции у=х³+14х²+64х+96 на интервале [-4; 2]? 2. Как найти точку максимума функции

Конечно, я помогу вам решить эти задачи.

1. Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = x^3 + 14x^2 + 64x + 96\) на интервале \([-4; 2]\), мы должны проанализировать экстремумы функции. Экстремумы могут быть точками минимума или максимума.

Шаг 1: Найдем производные функции \(y\) по \(x\). Чтобы облегчить вычисления, давайте обозначим производные:
\(y" = \frac{{dy}}{{dx}}\) (первая производная)
\(y"" = \frac{{d^2y}}{{dx^2}}\) (вторая производная)

Шаг 2: Найдем первую производную:
\[y" = 3x^2 + 28x + 64\]

Шаг 3: Найдем вторую производную, чтобы определить тип каждого найденного экстремума:
\[y"" = 6x + 28\]

Шаг 4: Найдем точки минимума и максимума, приравняв первую производную нулю и решив уравнение:
\[3x^2 + 28x + 64 = 0\]

Шаг 5: Решим это квадратное уравнение. Используя любой удобный метод (например, метод дискриминанта), найдем значения \(x\):
\[x = -8, \quad x = -\frac{8}{3}\]

Шаг 6: Проверим тип каждой точки экстремума, используя вторую производную \(y""\):
Для \(x = -8\):
\[y"" = 6(-8) + 28 = -16 < 0\]
То есть, у функции есть максимум в точке \(x = -8\).
Для \(x = -\frac{8}{3}\):
\[y"" = 6\left(-\frac{8}{3}\right) + 28 = 8 > 0\]
То есть, у функции есть минимум в точке \(x = -\frac{8}{3}\).

Шаг 7: Вычислим значение функции в найденных точках экстремума:
Для \(x = -8\):
\[y = (-8)^3 + 14(-8)^2 + 64(-8) + 96 = -288\]
Для \(x = -\frac{8}{3}\):
\[y = \left(-\frac{8}{3}\right)^3 + 14\left(-\frac{8}{3}\right)^2 + 64\left(-\frac{8}{3}\right) + 96 = \frac{56}{27}\]

Итак, наименьшее значение функции \(y = x^3 + 14x^2 + 64x + 96\) на интервале \([-4; 2]\) равно \(-288\) и достигается в точке \(x = -8\).

2. Чтобы найти точку максимума функции \(y = (x-2)^2(-2x-3)+5\), мы также должны проанализировать экстремумы.

Шаг 1: Найдем производные функции \(y\) по \(x\):
\[y" = \frac{{dy}}{{dx}}\]
\[y"" = \frac{{d^2y}}{{dx^2}}\]

Шаг 2: Найдем первую производную:
\[y" = -8x^2 + 5x + 4\]

Шаг 3: Найдем вторую производную:
\[y"" = -16x + 5\]

Шаг 4: Найдем точки экстремума, приравняв первую производную нулю и решив уравнение:
\[-8x^2 + 5x + 4 = 0\]

Шаг 5: Решим это квадратное уравнение для определения экстремальных точек. Используя метод дискриминанта, найдем значения \(x\):
\[x = -\frac{1}{2}, \quad x = \frac{4}{8}\]

Шаг 6: Проверим тип каждой найденной точки экстремума, используя вторую производную \(y""\):
В точке \(x = -\frac{1}{2}\):
\[y"" = -16\left(-\frac{1}{2}\right) + 5 = 12 > 0\]
То есть, у функции есть минимум в точке \(x = -\frac{1}{2}\).
В точке \(x = \frac{4}{8}\):
\[y"" = -16\left(\frac{4}{8}\right) + 5 = -3 < 0\]
То есть, у функции есть максимум в точке \(x = \frac{4}{8}\).

Шаг 7: Вычислим значение функции в найденных точках экстремума:
В точке \(x = -\frac{1}{2}\):
\[y = \left(-\frac{1}{2}-2\right)^2\left(-2\left(-\frac{1}{2}\right)-3\right)+5 = \frac{169}{4}\]
В точке \(x = \frac{4}{8}\):
\[y = \left(\frac{4}{8}-2\right)^2\left(-2\left(\frac{4}{8}\right)-3\right)+5 = \frac{169}{4}\]

Итак, точка максимума функции \(y = (x-2)^2(-2x-3)+5\) равна \(\frac{169}{4}\) и достигается при \(x = -\frac{1}{2}\) и \(x = \frac{4}{8}\).