1. Как найти наименьшее значение функции у=х³+14х²+64х+96 на интервале [-4; 2]? 2. Как найти точку максимума функции

Конечно, я помогу вам решить эти задачи.

1. Чтобы найти наименьшее значение функции $y=x^3+14x^2+64x+96$ на интервале $[-4;2]$, мы должны проанализировать экстремумы функции. Экстремумы могут быть точками минимума или максимума.

Шаг 1: Найдем производные функции $y$ по $x$. Чтобы облегчить вычисления, давайте обозначим производные:
$y"=\frac{dy}{dx}$ (первая производная)
$y""=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ (вторая производная)

Шаг 2: Найдем первую производную:
$$y"=3x^2+28x+64$$

Шаг 3: Найдем вторую производную, чтобы определить тип каждого найденного экстремума:
$$y""=6x+28$$

Шаг 4: Найдем точки минимума и максимума, приравняв первую производную нулю и решив уравнение:
$$3x^2+28x+64=0$$

Шаг 5: Решим это квадратное уравнение. Используя любой удобный метод (например, метод дискриминанта), найдем значения $x$:
$$x=-8,x=-\frac{8}{3}$$

Шаг 6: Проверим тип каждой точки экстремума, используя вторую производную $y""$:
Для $x=-8$:
$$y""=6(-8)+28=-16<0$$
То есть, у функции есть максимум в точке $x=-8$.
Для $x=-\frac{8}{3}$:
$$y""=6(-\frac{8}{3})+28=8>0$$
То есть, у функции есть минимум в точке $x=-\frac{8}{3}$.

Шаг 7: Вычислим значение функции в найденных точках экстремума:
Для $x=-8$:
$$y=(-8{)}^3+14(-8{)}^2+64(-8)+96=-288$$
Для $x=-\frac{8}{3}$:
$$y={(-\frac{8}{3})}^3+14{(-\frac{8}{3})}^2+64(-\frac{8}{3})+96=\frac{56}{27}$$

Итак, наименьшее значение функции $y=x^3+14x^2+64x+96$ на интервале $[-4;2]$ равно $-288$ и достигается в точке $x=-8$.

2. Чтобы найти точку максимума функции $y=(x-2{)}^2(-2x-3)+5$, мы также должны проанализировать экстремумы.

Шаг 1: Найдем производные функции $y$ по $x$:
$$y"=\frac{dy}{dx}$$
$$y""=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$

Шаг 2: Найдем первую производную:
$$y"=-8x^2+5x+4$$

Шаг 3: Найдем вторую производную:
$$y""=-16x+5$$

Шаг 4: Найдем точки экстремума, приравняв первую производную нулю и решив уравнение:
$$-8x^2+5x+4=0$$

Шаг 5: Решим это квадратное уравнение для определения экстремальных точек. Используя метод дискриминанта, найдем значения $x$:
$$x=-\frac{1}{2},x=\frac{4}{8}$$

Шаг 6: Проверим тип каждой найденной точки экстремума, используя вторую производную $y""$:
В точке $x=-\frac{1}{2}$:
$$y""=-16(-\frac{1}{2})+5=12>0$$
То есть, у функции есть минимум в точке $x=-\frac{1}{2}$.
В точке $x=\frac{4}{8}$:
$$y""=-16\left(\frac{4}{8}\right)+5=-3<0$$
То есть, у функции есть максимум в точке $x=\frac{4}{8}$.

Шаг 7: Вычислим значение функции в найденных точках экстремума:
В точке $x=-\frac{1}{2}$:
$$y={(-\frac{1}{2}-2)}^2(-2(-\frac{1}{2})-3)+5=\frac{169}{4}$$
В точке $x=\frac{4}{8}$:
$$y={(\frac{4}{8}-2)}^2(-2\left(\frac{4}{8}\right)-3)+5=\frac{169}{4}$$

Итак, точка максимума функции $y=(x-2{)}^2(-2x-3)+5$ равна $\frac{169}{4}$ и достигается при $x=-\frac{1}{2}$ и $x=\frac{4}{8}$.