1. Изображите прямоугольник ABCD после применения: а) центральной симметрии с центром в точке А; б) осевой симметрии

1а) Чтобы изобразить прямоугольник ABCD после применения центральной симметрии с центром в точке А, нужно отразить каждую точку прямоугольника относительно центра симметрии. Таким образом, отразим точку B относительно точки А и обозначим полученную точку как B". Затем отразим точку C относительно точки А и обозначим полученную точку как C". И, наконец, отразим точку D относительно точки А и обозначим полученную точку как D". Теперь, соединив точки A, B", C" и D", получим новый прямоугольник A"B"C"D", который получен после применения центральной симметрии.

1б) Для осевой симметрии относительно оси АД необходимо отразить каждую точку прямоугольника относительно этой оси. Таким образом, отразим точку B относительно оси АД и обозначим полученную точку как B". Затем отразим точку C относительно оси АД и обозначим полученную точку как C". И, наконец, отразим точку D относительно оси АД и обозначим полученную точку как D". Теперь, соединив точки A, B", C" и D", получим новый прямоугольник A"B"C"D", который получен после применения осевой симметрии.

2) Чтобы построить фигуру, полученную из квадрата ABCD при параллельном переносе, нужно каждую точку квадрата сдвинуть вдоль одного и того же вектора. Пусть вектор сдвига будет \(\vec{v}\). Для каждой точки A, B, C и D применим сдвиг и обозначим новые точки как A", B", C" и D" соответственно. Затем соединим полученные точки A", B", C" и D" линиями и получим фигуру, полученную после параллельного переноса.

3) Чтобы создать фигуру из треугольника ABC путем поворота на 90° по часовой стрелке вокруг точки C, нужно повернуть каждую точку треугольника так, чтобы угол между каждой исходной точкой и точкой C стал равен 90° по часовой стрелке. Пусть точка C будет центром поворота. Для точки A, проведем линию, образующую угол 90° с линией AC. Точка пересечения этой линии с линией AC будет новой точкой A", которая получается после поворота. Аналогично, для точки B проведем линию, образующую угол 90° с линией BC, и точка пересечения этой линии с линией BC будет новой точкой B". Теперь соединим точки A", B" и C линиями и получим фигуру, полученную после поворота.

4) Чтобы провести прямую через точку М, параллельную О1О2 и пересекающую окружность, нужно использовать свойство, что параллельные линии имеют одинаковый угловой коэффициент. В данном случае, окружности О1 и О2 имеют одинаковые радиусы и пересекаются в точках М и N. Пусть точка М имеет координаты (x, y). Тогда точка N также имеет координаты (x, y), так как они являются пересечениями окружностей. Чтобы провести прямую через точку М, параллельную О1О2, нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки М и N. Так как эти точки имеют одинаковые координаты, уравнение прямой будет иметь вид y = kx + b, где k - это угловой коэффициент, который можно найти из координаты любой точки на этой прямой. В данном случае, можно использовать точку М. Так как прямая параллельна О1О2, ее угловой коэффициент будет такой же, как у прямой, проходящей через центры окружностей. Таким образом, уравнение прямой будет примерно таким: y = kx + b