1. If AC equals 8 and angle CAB is 60 degrees, what is the value of Sbok? 2. Given that angle AO1B is 60 degrees

Задача 1:
Исходя из информации, данной в условии задачи, у нас есть треугольник ABC, где сторона AC равна 8 единицам, а угол CAB равен 60 градусам. Нам нужно определить значение Sbok.

Для решения этой задачи можно использовать теорему синусов. Согласно теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех сторон треугольника.

Таким образом, мы можем записать соотношение:
\[\frac{AC}{\sin{CAB}} = \frac{BC}{\sin{ACB}}\]

Подставим известные значения:
\[\frac{8}{\sin{60^\circ}} = \frac{BC}{\sin{ACB}}\]

Синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:
\[\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\sin{ACB}}\]

Упростим выражение:
\[\frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{\sin{ACB}}\]
\[\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{\sin{ACB}}\]

Чтобы найти значение BC, нам нужно найти синус угла ACB. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Зная угол CAB, мы можем найти угол ACB:
\[ACB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ\]
\[ACB = 60^\circ\]

Теперь мы можем найти значение синуса угла ACB. Синус 60 градусов также равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим в выражение для BC:
\[\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим выражение:
\[\frac{16 \cdot 2}{\sqrt{3}} = BC\]
\[\frac{32}{\sqrt{3}} = BC\]

Таким образом, значение стороны BC равно \(\frac{32}{\sqrt{3}}\) единицам.
Ответ: BC = \(\frac{32}{\sqrt{3}}\) единицы.

Задача 2:
В этой задаче у нас есть треугольник AOB, где угол AO1B равен 60 градусам, сторона AB равна 15 единицам, а сторона OA равна 9 единицам. Мы должны найти значение Sbok.

Сначала, чтобы найти значение Sbok, мы должны найти значение стороны OB. Для этого мы можем использовать теорему косинусов, которая говорит, что квадрат длины стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус между ними.

Таким образом, мы можем записать соотношение:
\[OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2 \cdot OA \cdot AB \cdot \cos{AO1B}\]

Подставим известные значения:
\[OB^2 = 9^2 + 15^2 - 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot \cos{60^\circ}\]

Синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:
\[OB^2 = 81 + 225 - 2 \cdot 9 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упростим выражение:
\[OB^2 = 306 - 270 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[OB^2 = 306 - 135 \cdot \sqrt{3}\]

Чтобы найти значение OB, возведем обе части уравнения в степень 0,5:
\[OB = \sqrt{306 - 135 \cdot \sqrt{3}}\]

Таким образом, значение стороны OB равно \(\sqrt{306 - 135 \cdot \sqrt{3}}\) единицам.
Ответ: OB = \(\sqrt{306 - 135 \cdot \sqrt{3}}\) единицы.