1) How likely is it that three randomly selected light bulbs from a box, containing 7 bulbs with a power of 100 watts

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для решения этой задачи, нам нужно использовать комбинаторику и вероятность. Давайте начнём с первого пункта задачи:

a) Нам нужно определить вероятность того, что все три выбранные лампочки будут иметь одинаковую мощность. Всего в коробке у нас 20 лампочек: 7 с мощностью 100 Вт и 13 с мощностью 75 Вт. Для вычисления вероятности мы можем использовать формулу сочетаний.

Вероятность выбрать 3 лампочки с одинаковой мощностью будет равна отношению количества способов выбрать 3 лампочки с одинаковой мощностью (т.е. 7 способов выбрать 3 лампочки с мощностью 100 Вт или 13 способов выбрать 3 лампочки с мощностью 75 Вт) к общему количеству способов выбрать 3 лампочки из всех лампочек в коробке.

Количество способов выбрать 3 лампочки с одинаковой мощностью равно:
\[\binom{7}{3} + \binom{13}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} + \frac{13!}{3!(13-3)!}\]

Общее количество способов выбрать 3 лампочки из всех лампочек в коробке равно:
\[\binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!}\]

Итак, вероятность того, что все три выбранные лампочки будут иметь одинаковую мощность, равна:
\[\frac{\binom{7}{3} + \binom{13}{3}}{\binom{20}{3}}\]

b) Теперь рассмотрим второй пункт задачи: вероятность получить как минимум две лампочки с мощностью 100 Вт. Мы можем решить эту задачу, посчитав вероятность получить 0 или 1 лампочку с мощностью 100 Вт, и затем вычислить вероятность получить как минимум две лампочки с мощностью 100 Вт как дополнение до единицы (1) вероятности получить 0 или 1 лампочку с мощностью 100 Вт.

Вероятность получить 0 или 1 лампочку с мощностью 100 Вт можно вычислить следующим образом:

Вероятность получить 0 лампочек с мощностью 100 Вт равна отношению количества способов выбрать 3 лампочки с мощностью 75 Вт (т.е. 13 способов выбрать 3 лампочки с мощностью 75 Вт) к общему количеству способов выбрать 3 лампочки из всех лампочек в коробке.

Вероятность получить 1 лампочку с мощностью 100 Вт равна отношению произведения количества способов выбрать 1 лампочку с мощностью 100 Вт (т.е. 7 способов выбрать 1 лампочку с мощностью 100 Вт) и количества способов выбрать 2 лампочки с мощностью 75 Вт (т.е. \(\binom{13}{2}\)) к общему количеству способов выбрать 3 лампочки из всех лампочек в коробке.

Тогда вероятность получить 0 или 1 лампочку с мощностью 100 Вт равна:
\[\frac{\binom{13}{3} + 7 \cdot \binom{13}{2}}{\binom{20}{3}}\]

Чтобы найти вероятность получить как минимум две лампочки с мощностью 100 Вт, мы можем вычислить дополнение до единицы этой вероятности:

Вероятность получить как минимум две лампочки с мощностью 100 Вт равна:
\[1 - \frac{\binom{13}{3} + 7 \cdot \binom{13}{2}}{\binom{20}{3}}\]

2) Теперь перейдём ко второй задаче. Нам нужно определить вероятность того, что все три выбранные шара будут разных цветов. Всего в коробке у нас 10 шаров разных цветов: 2 белых, 3 черных и 5 синих.

Вероятность выбрать 3 разных цвета шаров можно вычислить следующим образом:

Количество способов выбрать 3 шара с разными цветами равно:
\(2 \cdot 3 \cdot 5\)

Общее количество способов выбрать 3 шара из всех шаров в коробке равно:
\(\binom{10}{3}\)

Итак, вероятность того, что все три выбранных шара будут разных цветов, равна:
\(\frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{\binom{10}{3}}\)

3) Наконец, перейдём к третьей задаче. Нам нужно найти вероятность того, что хотя бы один из двух стрелков попадёт в цель. Поскольку каждый из них стреляет независимо, мы можем использовать формулу сложения вероятностей для нахождения результата.

Вероятность того, что первый стрелок попадёт в цель равна 0.8, а вероятность того, что второй стрелок попадёт в цель равна 0.7. Чтобы найти вероятность, что хотя бы один из них попадёт в цель, мы можем вычислить дополнение до единицы вероятности того, что оба стрелка промахнутся.

Вероятность того, что оба стрелка промахнутся, равна:
\(0.2 \cdot 0.3\)

Тогда вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в цель, равна:
\(1 - 0.2 \cdot 0.3\)

Пожалуйста, обратите внимание, что такие задачи основаны на предположении о случайном выборе и равномерном распределении вероятностей. В реальном мире могут быть и другие факторы, которые могут влиять на результаты.