1) How can the expression (x-3)/(x+5) - 80/(x^2 -25) be rewritten as 1/9?
2) What is the rephrased form of the equation (x-4)/(x-2) - 8/(4-x^2) + 8/(x+2) = 0?
3) How can the equation (x-4)/(x+3) - (x+4)/(x-3) be rewritten as (42/(x^2-9))?
4) What is the rephrased form of the equation 70/((x+3)(x-7))? It is equal to (x-4)/(x+3) - (x-14)/(x+7).
2) What is the rephrased form of the equation (x-4)/(x-2) - 8/(4-x^2) + 8/(x+2) = 0?
3) How can the equation (x-4)/(x+3) - (x+4)/(x-3) be rewritten as (42/(x^2-9))?
4) What is the rephrased form of the equation 70/((x+3)(x-7))? It is equal to (x-4)/(x+3) - (x-14)/(x+7).
Наталья
1) Чтобы выразить выражение \(\frac{{x-3}}{{x+5}} - \frac{{80}}{{x^2 -25}}\) как \(\frac{1}{9}\), следует следовать этим шагам:
Сначала найдем общий знаменатель для обоих дробей:
\[\frac{{x-3}}{{x+5}} - \frac{{80}}{{x^2 -25}} = \frac{{(x-3)(x-5)}}{{(x+5)(x-5)}} - \frac{{80}}{{x^2 -25}}\]
\[= \frac{{(x-3)(x-5) - 80}}{{(x+5)(x-5)}}\]
Далее упростим числитель:
\((x-3)(x-5) - 80 = x^2 - 8x + 15 - 80 = x^2 - 8x - 65\)
Теперь подставим значения числителя и знаменателя:
\[\frac{{(x-3)(x-5) - 80}}{{(x+5)(x-5)}} = \frac{{x^2 - 8x - 65}}{{(x+5)(x-5)}}\]
Теперь нужно найти значение \(x\), при котором полученная дробь равна \(\frac{1}{9}\). Для этого приравняем дробь к \(\frac{1}{9}\) и решим уравнение:
\[\frac{{x^2 - 8x - 65}}{{(x+5)(x-5)}} = \frac{1}{9}\]
Можно умножить обе стороны на \((x+5)(x-5)\) для избавления от знаменателя:
\[9(x^2 - 8x - 65) = (x+5)(x-5)\]
\[9x^2 - 72x - 585 = x^2 - 5x + 5x - 25\]
\[9x^2 - 72x - 585 = x^2 - 25\]
Теперь объединим все члены в одну сторону уравнения:
\[8x^2 - 47x - 560 = 0\]
Можно решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня, и найдем значение \(x\).
2) Преобразованная форма уравнения \(\frac{{x-4}}{{x-2}} - \frac{8}{{4-x^2}} + \frac{8}{{x+2}} = 0\) будет выглядеть так:
Для начала упростим знаменатель второй дроби:
\(\frac{{8}}{{4-x^2}} = \frac{{8}}{{(2-x)(2+x)}}\)
Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей:
\(\frac{{x-4}}{{x-2}} - \frac{{8}}{{4-x^2}} + \frac{{8}}{{x+2}} = \frac{{(x-4)(2+x)}}{{(x-2)(2+x)}} - \frac{{8}}{{(2-x)(2+x)}} + \frac{{8(x-2)}}{{(x+2)(x-2)}}\)
\(= \frac{{(x-4)(2+x) - 8 + 8(x-2)}}{{(x-2)(2+x)}}\)
\(= \frac{{x^2 - 4 - 4x + 8 - 8 + 8x - 16 + 8}}{ {(x-2)(2+x)}}\)
\(= \frac{{x^2 + 4x - 20}}{{(x-2)(2+x)}}\)
Теперь можно упростить числитель:
\(x^2 + 4x - 20\) можно записать как \((x + 5)(x - 4)\)
Подставим значения числителя и знаменателя:
\(\frac{{x^2 + 4x - 20}}{{(x-2)(2+x)}} = \frac{{(x + 5)(x - 4)}}{{(x-2)(2+x)}}\)
Таким образом, преобразованная форма уравнения будет:
\(\frac{{(x + 5)(x - 4)}}{{(x-2)(2+x)}} = 0\)
3) Чтобы преобразовать уравнение \(\frac{{x-4}}{{x+3}} - \frac{{x+4}}{{x-3}}\) в \(\frac{{42}}{{x^2-9}}\), нужно следовать этим шагам:
Найдем общий знаменатель для обеих дробей:
\(\frac{{x-4}}{{x+3}} - \frac{{x+4}}{{x-3}} = \frac{{(x-4)(x-3)}}{{(x+3)(x-3)}} - \frac{{(x+4)(x+3)}}{{(x-3)(x+3)}}\)
\(= \frac{{(x-4)(x-3) - (x+4)(x+3)}}{{(x+3)(x-3)}}\)
Раскроем скобки в числителе:
\((x-4)(x-3) - (x+4)(x+3) = x^2 - 7x + 12 - (x^2 + 7x + 12) = -14x\)
Теперь подставим значения числителя и знаменателя:
\(\frac{{(x-4)(x-3) - (x+4)(x+3)}}{{(x+3)(x-3)}} = \frac{{-14x}}{{(x+3)(x-3)}}\)
Теперь приведем знаменатель к виду \(x^2 - 9\):
\((x+3)(x-3) = x^2 - 9\)
Таким образом, преобразованная форма уравнения будет:
\(\frac{{-14x}}{{x^2-9}} = \frac{{42}}{{x^2-9}}\)
4) Преобразование уравнения \(\frac{{70}}{{(x+3)(x-7)}}\) в форму, равную \(\frac{{x-4}}{{x+3}} - \frac{{x-14}}{{x+7}}\), будет выглядеть следующим образом:
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \((x-7)\), а второй дроби на \((x+3)\):
\(\frac{{70}}{{(x+3)(x-7)}} = \frac{{70(x-7)}}{{(x+3)(x-7)(x+7)}} = \frac{{70(x-7)}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}}\)
Упростим выражение \((-7)(x-7)\):
\((-7)(x-7) = -7x + 49\)
Подставим значения числителя и знаменателя:
\(\frac{{70(x-7)}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}} = \frac{{70(-7x + 49)}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}}\)
Теперь раскроем скобки в числителе:
\(70(-7x + 49) = -490x + 3430\)
Таким образом, преобразованная форма уравнения будет:
\(\frac{{70}}{{(x+3)(x-7)}} = \frac{{-490x + 3430}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}}\)
Надеюсь, объяснения и преобразования стали понятными для школьника! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
Сначала найдем общий знаменатель для обоих дробей:
\[\frac{{x-3}}{{x+5}} - \frac{{80}}{{x^2 -25}} = \frac{{(x-3)(x-5)}}{{(x+5)(x-5)}} - \frac{{80}}{{x^2 -25}}\]
\[= \frac{{(x-3)(x-5) - 80}}{{(x+5)(x-5)}}\]
Далее упростим числитель:
\((x-3)(x-5) - 80 = x^2 - 8x + 15 - 80 = x^2 - 8x - 65\)
Теперь подставим значения числителя и знаменателя:
\[\frac{{(x-3)(x-5) - 80}}{{(x+5)(x-5)}} = \frac{{x^2 - 8x - 65}}{{(x+5)(x-5)}}\]
Теперь нужно найти значение \(x\), при котором полученная дробь равна \(\frac{1}{9}\). Для этого приравняем дробь к \(\frac{1}{9}\) и решим уравнение:
\[\frac{{x^2 - 8x - 65}}{{(x+5)(x-5)}} = \frac{1}{9}\]
Можно умножить обе стороны на \((x+5)(x-5)\) для избавления от знаменателя:
\[9(x^2 - 8x - 65) = (x+5)(x-5)\]
\[9x^2 - 72x - 585 = x^2 - 5x + 5x - 25\]
\[9x^2 - 72x - 585 = x^2 - 25\]
Теперь объединим все члены в одну сторону уравнения:
\[8x^2 - 47x - 560 = 0\]
Можно решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня, и найдем значение \(x\).
2) Преобразованная форма уравнения \(\frac{{x-4}}{{x-2}} - \frac{8}{{4-x^2}} + \frac{8}{{x+2}} = 0\) будет выглядеть так:
Для начала упростим знаменатель второй дроби:
\(\frac{{8}}{{4-x^2}} = \frac{{8}}{{(2-x)(2+x)}}\)
Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей:
\(\frac{{x-4}}{{x-2}} - \frac{{8}}{{4-x^2}} + \frac{{8}}{{x+2}} = \frac{{(x-4)(2+x)}}{{(x-2)(2+x)}} - \frac{{8}}{{(2-x)(2+x)}} + \frac{{8(x-2)}}{{(x+2)(x-2)}}\)
\(= \frac{{(x-4)(2+x) - 8 + 8(x-2)}}{{(x-2)(2+x)}}\)
\(= \frac{{x^2 - 4 - 4x + 8 - 8 + 8x - 16 + 8}}{ {(x-2)(2+x)}}\)
\(= \frac{{x^2 + 4x - 20}}{{(x-2)(2+x)}}\)
Теперь можно упростить числитель:
\(x^2 + 4x - 20\) можно записать как \((x + 5)(x - 4)\)
Подставим значения числителя и знаменателя:
\(\frac{{x^2 + 4x - 20}}{{(x-2)(2+x)}} = \frac{{(x + 5)(x - 4)}}{{(x-2)(2+x)}}\)
Таким образом, преобразованная форма уравнения будет:
\(\frac{{(x + 5)(x - 4)}}{{(x-2)(2+x)}} = 0\)
3) Чтобы преобразовать уравнение \(\frac{{x-4}}{{x+3}} - \frac{{x+4}}{{x-3}}\) в \(\frac{{42}}{{x^2-9}}\), нужно следовать этим шагам:
Найдем общий знаменатель для обеих дробей:
\(\frac{{x-4}}{{x+3}} - \frac{{x+4}}{{x-3}} = \frac{{(x-4)(x-3)}}{{(x+3)(x-3)}} - \frac{{(x+4)(x+3)}}{{(x-3)(x+3)}}\)
\(= \frac{{(x-4)(x-3) - (x+4)(x+3)}}{{(x+3)(x-3)}}\)
Раскроем скобки в числителе:
\((x-4)(x-3) - (x+4)(x+3) = x^2 - 7x + 12 - (x^2 + 7x + 12) = -14x\)
Теперь подставим значения числителя и знаменателя:
\(\frac{{(x-4)(x-3) - (x+4)(x+3)}}{{(x+3)(x-3)}} = \frac{{-14x}}{{(x+3)(x-3)}}\)
Теперь приведем знаменатель к виду \(x^2 - 9\):
\((x+3)(x-3) = x^2 - 9\)
Таким образом, преобразованная форма уравнения будет:
\(\frac{{-14x}}{{x^2-9}} = \frac{{42}}{{x^2-9}}\)
4) Преобразование уравнения \(\frac{{70}}{{(x+3)(x-7)}}\) в форму, равную \(\frac{{x-4}}{{x+3}} - \frac{{x-14}}{{x+7}}\), будет выглядеть следующим образом:
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \((x-7)\), а второй дроби на \((x+3)\):
\(\frac{{70}}{{(x+3)(x-7)}} = \frac{{70(x-7)}}{{(x+3)(x-7)(x+7)}} = \frac{{70(x-7)}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}}\)
Упростим выражение \((-7)(x-7)\):
\((-7)(x-7) = -7x + 49\)
Подставим значения числителя и знаменателя:
\(\frac{{70(x-7)}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}} = \frac{{70(-7x + 49)}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}}\)
Теперь раскроем скобки в числителе:
\(70(-7x + 49) = -490x + 3430\)
Таким образом, преобразованная форма уравнения будет:
\(\frac{{70}}{{(x+3)(x-7)}} = \frac{{-490x + 3430}}{{(x+3)(x+7)(x-7)}}\)
Надеюсь, объяснения и преобразования стали понятными для школьника! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
Знаешь ответ?