1) Если x1 и x2 больше 2 по модулю, то число a+b+1 является составным? 2) Найдите корни квадратного трехчлена, если

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для определения, является ли число \(a+b+1\) составным, нужно знать, являются ли числа \(a\) и \(b\) больше 2 по модулю.
По условию задачи предположим, что \(|a| > 2\) и \(|b| > 2\).

Для начала, рассмотрим вариант, когда \(a\) и \(b\) положительные. В этом случае, если число \(a+b+1\) составное, оно должно иметь как минимум два делителя, отличных от 1 и самого числа. Рассмотрим два таких делителя: \(x\) и \(y\). Зная, что \(a+b+1\) делится на \(x\) и \(y\), можем записать следующие два уравнения:

\[a+b+1 = x \cdot y \quad \text{(1)}\]
\[x > 1, y > 1\]

Заметим, что из равенства (1) следует, что \(x\) и \(y\) должны быть меньше \(a+b+1\), так как иначе произведение \(x \cdot y\) будет больше \(a+b+1\), что невозможно. Но также у нас есть условие, что \(|a| > 2\) и \(|b| > 2\), значит, \(a+b+1\) будет как минимум равно 6.

Таким образом, \(x\) и \(y\) должны быть меньше 6. Проверим все возможные комбинации:

- Если \(x = 2\) и \(y = 3\), то \(x \cdot y = 6\), что не совпадает с \(a+b+1\).
- Если \(x = 3\) и \(y = 2\), то снова получаем \(x \cdot y = 6\), что не совпадает с \(a+b+1\).
- Если \(x = 2\) и \(y = 4\), то \(x \cdot y = 8\), что не совпадает с \(a+b+1\).
- Если \(x = 4\) и \(y = 2\), то снова получаем \(x \cdot y = 8\), что не совпадает с \(a+b+1\).
- Если \(x = 3\) и \(y = 3\), то \(x \cdot y = 9\), что не совпадает с \(a+b+1\).
- Если \(x = 4\) и \(y = 4\), то \(x \cdot y = 16\), что не совпадает с \(a+b+1\).

Ни одна из возможных комбинаций значений для \(x\) и \(y\) не удовлетворяет условию. Поэтому, если \(|a| > 2\) и \(|b| > 2\), то число \(a+b+1\) является простым числом, так как оно не имеет делителей, отличных от 1 и самого числа.

Теперь рассмотрим вариант, когда \(a\) и \(b\) отрицательные. Очевидно, что при отрицательных \(a\) и \(b\) число \(a+b+1\) также будет отрицательным. В таком случае, мы можем рассмотреть числа \(-a\), \(-b\) и \(-1\) и применить к ним аналогичный рассуждения для положительных \(a\), \(b\) и 1. В итоге получим, что \(-a-b-1\) также является простым числом.

Теперь рассмотрим случай, когда одно из чисел \(a\) и \(b\) положительно, а второе – отрицательное. Пусть без потери общности \(a > 0\) и \(b < 0\). Тогда имеем:

\[a+b+1 = a-b + 1 = |a-b + 1|\]

Вспомним, что \(|a| > 2\) и \(|b| > 2\). Исследуем различные комбинации знаков \(a\) и \(b\):

- Если \(a-b+1\) положительно, то ситуация сводится к рассуждениям из пункта 1, где оба числа положительные.

- Если \(a-b+1\) отрицательно, то ситуация сводится к рассуждениям из пункта 2, где оба числа отрицательные.

Итак, независимо от знаков \(a\) и \(b\) получаем, что число \(a+b+1\) всегда будет являться простым числом.

2) Для нахождения корней квадратного трехчлена нам дано значение трехчлена в точке \(x = 29\) и один из корней.

Пусть данная квадратная функция имеет вид \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Известно, что функция проходит через точку \((29, f(29))\) и имеет один из корней \(x_1\).

Так как функция проходит через точку \((29, f(29))\), мы можем записать следующее уравнение:

\[f(29) = a \cdot 29^2 + b \cdot 29 + c\]

Также, по свойствам квадратного трехчлена, мы знаем, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\). Зная один из корней \(x_1\), мы можем записать следующее уравнение:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]

Теперь, чтобы найти второй корень \(x_2\), нам остается решить уравнение \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) относительно \(x_2\):

\[x_2 = -\frac{b}{a} - x_1\]

Окончательно, для нахождения корней квадратного трехчлена, нужно знать значение трехчлена в точке \(x = 29\) и один из корней, и тогда можно решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
f(29) = a \cdot 29^2 + b \cdot 29 + c \\
x_2 = -\frac{b}{a} - x_1
\end{cases}
\]
или провести ряд арифметических операций с известными значениями корней и коэффициентами трехчлена.

3) Чтобы найти все целые значения \(p\) и \(q\), при которых корни уравнения \(x^2 + (8p+11)x + (7q+16) = 0\) являются целыми числами, и при этом коэффициенты \(8p+11\) и \(7q+16\) являются целыми числами, мы можем использовать формулу дискриминанта.

Для начала, найдем дискриминант \(D\) квадратного трехчлена. Для квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 8p+11\) и \(c = 7q+16\). Заменяя в формуле дискриминанта, получим:

\[D = (8p+11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7q+16)\]

Теперь, чтобы корни были целыми числами, дискриминант должен быть точным квадратом. Это означает, что существует целое число \(k\), такое что:

\[D = k^2\]

Заменяя значение \(D\) из предыдущего уравнения, получим:

\[(8p+11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7q+16) = k^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[64p^2 + 176p + 121 - 28q - 64 = k^2\]

\[64p^2 + 176p - 28q + 57 = k^2\]

Это уравнение можно переписать в таком виде:

\[k^2 = 64p^2 + 176p - 28q + 57\]

Заметим, что число \(k^2\) является квадратом некоторого целого числа только если выражение на правой стороне является полным квадратом.

Следовательно, для нахождения всех целых значений \(p\) и \(q\), при которых корни данного квадратного трехчлена являются целыми числами, и при условии, что коэффициенты \(8p+11\) и \(7q+16\) являются целыми числами, мы должны найти целочисленные решения уравнения:

\[64p^2 + 176p - 28q + 57 = k^2\]

Полученное уравнение будет иметь множество целочисленных решений \(p\) и \(q\).