1) Если u=u(x,y,z) - функция, которая может быть дифференцирована, и c - константа, то как будет выглядеть градиент выражения c+u?
2) Какая будет производная скалярного поля u=(x^2)y+2*(y^2) +z*x в точке M0(2;-5;-1) по направлению вектора M0M1 , где M1(2;-1;2)?
3) Какая будет дивергенция векторного поля u=xcosyi-3xj+(e^z)xk в точке A(-1;π;0)?
4) Чему будет равна величина ротора (M0), если векторное поле {a}=-yi+x^2 zj -2yk , M0(1;1;1)?
5) Какой будет поток вектора a=(x-2y)i+(2y-3z)j+(z+4yx)k через всю поверхность цилиндра x^2+y^2=4, z=0, z=3, в направлении внешней нормали? (Ответ округлите до сотых.) Кто первый решит, того ждет вознаграждение.
2) Какая будет производная скалярного поля u=(x^2)y+2*(y^2) +z*x в точке M0(2;-5;-1) по направлению вектора M0M1 , где M1(2;-1;2)?
3) Какая будет дивергенция векторного поля u=xcosyi-3xj+(e^z)xk в точке A(-1;π;0)?
4) Чему будет равна величина ротора (M0), если векторное поле {a}=-yi+x^2 zj -2yk , M0(1;1;1)?
5) Какой будет поток вектора a=(x-2y)i+(2y-3z)j+(z+4yx)k через всю поверхность цилиндра x^2+y^2=4, z=0, z=3, в направлении внешней нормали? (Ответ округлите до сотых.) Кто первый решит, того ждет вознаграждение.
Lazernyy_Reyndzher
1) Градиент выражения \(c+u\) будет выглядеть следующим образом:
\[\nabla(c+u) = \nabla(c) + \nabla(u)\]
Так как \(c\) является константой, то градиент константы равен нулю:
\[\nabla(c) = 0\]
Градиент функции \(u\) будет равен:
\[\nabla(u) = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\mathbf{j} + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\mathbf{k}\]
2) Чтобы найти производную скалярного поля \(u=(x^2)y+2(y^2) +z\cdot x\) по направлению вектора \(\overrightarrow{M_0M_1}\), где \(M_1(2;-1;2)\), нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить градиент скалярного поля \(u\) в точке \(M_0(2;-5;-1)\):
\[\nabla u = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\mathbf{j} + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\mathbf{k}\]
Вычислим частные производные:
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2xy + z\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = x^2 + 4y\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = x\)
Подставляем значения \((x, y, z) = (2, -5, -1)\) и получаем:
\(\nabla u = (2\cdot(2\cdot(-5))+(-1))\mathbf{i} + (2^2+4\cdot(-5))\mathbf{j} + (2\cdot(-5))\mathbf{k}\)
\(\nabla u = -19\mathbf{i} - 16\mathbf{j} - 10\mathbf{k}\)
- Найти единичный вектор \(\overrightarrow{M_0M_1}\):
\(\overrightarrow{M_0M_1} = (2 - 2)\mathbf{i} + (-1 - (-5))\mathbf{j} + (2 - (-1))\mathbf{k}\)
\(\overrightarrow{M_0M_1} = 0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\)
Единичный вектор \(\overrightarrow{M_0M_1}\) будет:
\(\mathbf{u} = \frac{{\overrightarrow{M_0M_1}}}{{|\overrightarrow{M_0M_1}|}}\)
Вычисляем длину вектора \(\overrightarrow{M_0M_1}\):
\(|\overrightarrow{M_0M_1}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = 5\)
Получаем:
\(\mathbf{u} = \frac{{0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}}}{5} = 0\mathbf{i} + \frac{4}{5}\mathbf{j} + \frac{3}{5}\mathbf{k}\)
- Теперь находим производную:
Производная скалярного поля \(u\) по направлению \(\overrightarrow{M_0M_1}\) будет равна:
\(\frac{{d u}}{{d \mathbf{u}}} = \nabla u \cdot \mathbf{u}\)
Вычисляем скалярное произведение и получаем:
\(\frac{{d u}}{{d \mathbf{u}}} = (-19)\cdot0 + (-16)\cdot\frac{4}{5} + (-10)\cdot\frac{3}{5}\)
\(\frac{{d u}}{{d \mathbf{u}}} = -\frac{32}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{62}{5}\)
3) Для вычисления дивергенции векторного поля \(u = x\cos(y)\mathbf{i} - 3x\mathbf{j} + e^zx\mathbf{k}\) в точке \(A(-1;\pi;0)\), нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить частные производные:
\(\frac{{\partial u_x}}{{\partial x}} = \cos(y)\)
\(\frac{{\partial u_y}}{{\partial y}} = -x\sin(y)\)
\(\frac{{\partial u_z}}{{\partial z}} = 0\)
- Подставить значения \((x, y, z) = (-1, \pi, 0)\) и получить:
\(\frac{{\partial u_x}}{{\partial x}} = \cos(\pi) = -1\)
\(\frac{{\partial u_y}}{{\partial y}} = (-1)\sin(\pi) = 0\)
\(\frac{{\partial u_z}}{{\partial z}} = 0\)
- Вычислить дивергенцию:
Дивергенция векторного поля \(u\) в точке \(A(-1;\pi;0)\) будет равна:
\(\nabla \cdot u = \frac{{\partial u_x}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z}}{{\partial z}}\)
Подставляем найденные значения:
\(\nabla \cdot u = (-1) + 0 + 0 = -1\)
4) Чтобы найти величину ротора векторного поля \(\mathbf{a} = -y\mathbf{i} + x^2z\mathbf{j} - 2y\mathbf{k}\), в точке \(\mathbf{M_0}(1;1;1)\), нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить частные производные:
\(\frac{{\partial a_x}}{{\partial x}} = 0\)
\(\frac{{\partial a_y}}{{\partial y}} = -1\)
\(\frac{{\partial a_z}}{{\partial z}} = x^2\)
- Подставить значения \((x, y, z) = (1, 1, 1)\) и получить:
\(\frac{{\partial a_x}}{{\partial x}} = 0\)
\(\frac{{\partial a_y}}{{\partial y}} = -1\)
\(\frac{{\partial a_z}}{{\partial z}} = 1^2 = 1\)
- Вычислить ротор:
Ротор векторного поля \(\mathbf{a}\) в точке \(\mathbf{M_0}(1;1;1)\) будет равен:
\(\nabla \times \mathbf{a} = \left(\frac{{\partial a_z}}{{\partial y}} - \frac{{\partial a_y}}{{\partial z}}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{{\partial a_x}}{{\partial z}} - \frac{{\partial a_z}}{{\partial x}}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{{\partial a_y}}{{\partial x}} - \frac{{\partial a_x}}{{\partial y}}\right)\mathbf{k}\)
Подставляем найденные значения:
\(\nabla \times \mathbf{a} = (1 - (-1))\mathbf{i} + (0 - 0)\mathbf{j} + (0 - 0)\mathbf{k} = 2\mathbf{i}\)
Таким образом, величина ротора векторного поля в точке \(\mathbf{M_0}(1;1;1)\) равна \(2\).
5) Для нахождения потока вектора \(\mathbf{a} = (x-2y)\mathbf{i} + (2y-3z)\mathbf{j} + (z+4yx)\mathbf{k}\) через всю поверхность цилиндра \(x^2+y^2=4\), \(z=0\), \(z=3\) в направлении внешней нормали, нужно выполнить следующие шаги:
- Параметризовать поверхность цилиндра:
Воспользуемся цилиндрической системой координат:
\(x = \rho \cos(\theta)\)
\(y = \rho \sin(\theta)\)
\(z = z\)
Граничные условия:
Для основания цилиндра: \(\rho = 2\), \(z\) от 0 до 3, \(\theta\) от 0 до \(2\pi\)
Для крышки цилиндра: \(\rho\) от 0 до 2, \(z = 0\), \(\theta\) от 0 до \(2\pi\)
- Найти нормали к поверхностям:
Для основания цилиндра: нормаль направлена вдоль оси \(z\), следовательно \(\mathbf{n} = (0, 0, 1)\)
Для крышки цилиндра: нормаль направлена против оси \(z\), следовательно \(\mathbf{n} = (0, 0, -1)\)
- Вычислить поток:
Поток вектора \(\mathbf{a}\) через поверхность цилиндра можно разделить на две части: поток через основание и поток через крышку.
Для потока через основание цилиндра:
\(\Phi_{\text{{осн}}}= \int\int_{S_{\text{{осн}}}} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} dS\)
\(\Phi_{\text{{осн}}}= \int\int_{S_{\text{{осн}}}} (x-2y)(0) + (2y-3z)(0) + (z+4yx)(1) dS\)
\(\Phi_{\text{{осн}}}= \int\int_{S_{\text{{осн}}}} z dS\)
Поверхностная площадь основания:
\(S_{\text{{осн}}} = \pi(\text{{радиус основания}})^2 = \pi(2)^2 = 4\pi\)
Таким образом, поток через основание цилиндра будет равен:
\(\Phi_{\text{{осн}}} = \int\int_{S_{\text{{осн}}}} z dS = \int\int_{S_{\text{{осн}}}} z \cdot dS = z \cdot S_{\text{{осн}}} = 4\pi z\)
Для потока через крышку цилиндра:
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} dS\)
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (x-2y)(0) + (2y-3z)(0) + (z+4yx)(-1) dS\)
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (-z) dS\)
Поверхностная площадь крышки:
\(S_{\text{{кр}}} = \pi(\text{{радиус крышки}})^2 = \pi(2)^2 = 4\pi\)
Таким образом, поток через крышку цилиндра будет равен:
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (-z) dS = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (-z) \cdot dS = - z \cdot S_{\text{{кр}}} = - 4\pi z\)
Суммируем потоки через основание и крышку:
\(\Phi = \Phi_{\text{{осн}}} + \Phi_{\text{{кр}}} = 4\pi z - 4\pi z = 0\)
Ответ: Поток вектора \(\mathbf{a}\) через всю поверхность цилиндра будет равен 0.
\[\nabla(c+u) = \nabla(c) + \nabla(u)\]
Так как \(c\) является константой, то градиент константы равен нулю:
\[\nabla(c) = 0\]
Градиент функции \(u\) будет равен:
\[\nabla(u) = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\mathbf{j} + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\mathbf{k}\]
2) Чтобы найти производную скалярного поля \(u=(x^2)y+2(y^2) +z\cdot x\) по направлению вектора \(\overrightarrow{M_0M_1}\), где \(M_1(2;-1;2)\), нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить градиент скалярного поля \(u\) в точке \(M_0(2;-5;-1)\):
\[\nabla u = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\mathbf{j} + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\mathbf{k}\]
Вычислим частные производные:
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2xy + z\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = x^2 + 4y\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = x\)
Подставляем значения \((x, y, z) = (2, -5, -1)\) и получаем:
\(\nabla u = (2\cdot(2\cdot(-5))+(-1))\mathbf{i} + (2^2+4\cdot(-5))\mathbf{j} + (2\cdot(-5))\mathbf{k}\)
\(\nabla u = -19\mathbf{i} - 16\mathbf{j} - 10\mathbf{k}\)
- Найти единичный вектор \(\overrightarrow{M_0M_1}\):
\(\overrightarrow{M_0M_1} = (2 - 2)\mathbf{i} + (-1 - (-5))\mathbf{j} + (2 - (-1))\mathbf{k}\)
\(\overrightarrow{M_0M_1} = 0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\)
Единичный вектор \(\overrightarrow{M_0M_1}\) будет:
\(\mathbf{u} = \frac{{\overrightarrow{M_0M_1}}}{{|\overrightarrow{M_0M_1}|}}\)
Вычисляем длину вектора \(\overrightarrow{M_0M_1}\):
\(|\overrightarrow{M_0M_1}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = 5\)
Получаем:
\(\mathbf{u} = \frac{{0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}}}{5} = 0\mathbf{i} + \frac{4}{5}\mathbf{j} + \frac{3}{5}\mathbf{k}\)
- Теперь находим производную:
Производная скалярного поля \(u\) по направлению \(\overrightarrow{M_0M_1}\) будет равна:
\(\frac{{d u}}{{d \mathbf{u}}} = \nabla u \cdot \mathbf{u}\)
Вычисляем скалярное произведение и получаем:
\(\frac{{d u}}{{d \mathbf{u}}} = (-19)\cdot0 + (-16)\cdot\frac{4}{5} + (-10)\cdot\frac{3}{5}\)
\(\frac{{d u}}{{d \mathbf{u}}} = -\frac{32}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{62}{5}\)
3) Для вычисления дивергенции векторного поля \(u = x\cos(y)\mathbf{i} - 3x\mathbf{j} + e^zx\mathbf{k}\) в точке \(A(-1;\pi;0)\), нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить частные производные:
\(\frac{{\partial u_x}}{{\partial x}} = \cos(y)\)
\(\frac{{\partial u_y}}{{\partial y}} = -x\sin(y)\)
\(\frac{{\partial u_z}}{{\partial z}} = 0\)
- Подставить значения \((x, y, z) = (-1, \pi, 0)\) и получить:
\(\frac{{\partial u_x}}{{\partial x}} = \cos(\pi) = -1\)
\(\frac{{\partial u_y}}{{\partial y}} = (-1)\sin(\pi) = 0\)
\(\frac{{\partial u_z}}{{\partial z}} = 0\)
- Вычислить дивергенцию:
Дивергенция векторного поля \(u\) в точке \(A(-1;\pi;0)\) будет равна:
\(\nabla \cdot u = \frac{{\partial u_x}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z}}{{\partial z}}\)
Подставляем найденные значения:
\(\nabla \cdot u = (-1) + 0 + 0 = -1\)
4) Чтобы найти величину ротора векторного поля \(\mathbf{a} = -y\mathbf{i} + x^2z\mathbf{j} - 2y\mathbf{k}\), в точке \(\mathbf{M_0}(1;1;1)\), нужно выполнить следующие шаги:
- Вычислить частные производные:
\(\frac{{\partial a_x}}{{\partial x}} = 0\)
\(\frac{{\partial a_y}}{{\partial y}} = -1\)
\(\frac{{\partial a_z}}{{\partial z}} = x^2\)
- Подставить значения \((x, y, z) = (1, 1, 1)\) и получить:
\(\frac{{\partial a_x}}{{\partial x}} = 0\)
\(\frac{{\partial a_y}}{{\partial y}} = -1\)
\(\frac{{\partial a_z}}{{\partial z}} = 1^2 = 1\)
- Вычислить ротор:
Ротор векторного поля \(\mathbf{a}\) в точке \(\mathbf{M_0}(1;1;1)\) будет равен:
\(\nabla \times \mathbf{a} = \left(\frac{{\partial a_z}}{{\partial y}} - \frac{{\partial a_y}}{{\partial z}}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{{\partial a_x}}{{\partial z}} - \frac{{\partial a_z}}{{\partial x}}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{{\partial a_y}}{{\partial x}} - \frac{{\partial a_x}}{{\partial y}}\right)\mathbf{k}\)
Подставляем найденные значения:
\(\nabla \times \mathbf{a} = (1 - (-1))\mathbf{i} + (0 - 0)\mathbf{j} + (0 - 0)\mathbf{k} = 2\mathbf{i}\)
Таким образом, величина ротора векторного поля в точке \(\mathbf{M_0}(1;1;1)\) равна \(2\).
5) Для нахождения потока вектора \(\mathbf{a} = (x-2y)\mathbf{i} + (2y-3z)\mathbf{j} + (z+4yx)\mathbf{k}\) через всю поверхность цилиндра \(x^2+y^2=4\), \(z=0\), \(z=3\) в направлении внешней нормали, нужно выполнить следующие шаги:
- Параметризовать поверхность цилиндра:
Воспользуемся цилиндрической системой координат:
\(x = \rho \cos(\theta)\)
\(y = \rho \sin(\theta)\)
\(z = z\)
Граничные условия:
Для основания цилиндра: \(\rho = 2\), \(z\) от 0 до 3, \(\theta\) от 0 до \(2\pi\)
Для крышки цилиндра: \(\rho\) от 0 до 2, \(z = 0\), \(\theta\) от 0 до \(2\pi\)
- Найти нормали к поверхностям:
Для основания цилиндра: нормаль направлена вдоль оси \(z\), следовательно \(\mathbf{n} = (0, 0, 1)\)
Для крышки цилиндра: нормаль направлена против оси \(z\), следовательно \(\mathbf{n} = (0, 0, -1)\)
- Вычислить поток:
Поток вектора \(\mathbf{a}\) через поверхность цилиндра можно разделить на две части: поток через основание и поток через крышку.
Для потока через основание цилиндра:
\(\Phi_{\text{{осн}}}= \int\int_{S_{\text{{осн}}}} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} dS\)
\(\Phi_{\text{{осн}}}= \int\int_{S_{\text{{осн}}}} (x-2y)(0) + (2y-3z)(0) + (z+4yx)(1) dS\)
\(\Phi_{\text{{осн}}}= \int\int_{S_{\text{{осн}}}} z dS\)
Поверхностная площадь основания:
\(S_{\text{{осн}}} = \pi(\text{{радиус основания}})^2 = \pi(2)^2 = 4\pi\)
Таким образом, поток через основание цилиндра будет равен:
\(\Phi_{\text{{осн}}} = \int\int_{S_{\text{{осн}}}} z dS = \int\int_{S_{\text{{осн}}}} z \cdot dS = z \cdot S_{\text{{осн}}} = 4\pi z\)
Для потока через крышку цилиндра:
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} dS\)
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (x-2y)(0) + (2y-3z)(0) + (z+4yx)(-1) dS\)
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (-z) dS\)
Поверхностная площадь крышки:
\(S_{\text{{кр}}} = \pi(\text{{радиус крышки}})^2 = \pi(2)^2 = 4\pi\)
Таким образом, поток через крышку цилиндра будет равен:
\(\Phi_{\text{{кр}}} = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (-z) dS = \int\int_{S_{\text{{кр}}}} (-z) \cdot dS = - z \cdot S_{\text{{кр}}} = - 4\pi z\)
Суммируем потоки через основание и крышку:
\(\Phi = \Phi_{\text{{осн}}} + \Phi_{\text{{кр}}} = 4\pi z - 4\pi z = 0\)
Ответ: Поток вектора \(\mathbf{a}\) через всю поверхность цилиндра будет равен 0.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
