1) Если периметр прямоугольника равен 72 см, а одна из его сторон в 3 раза больше другой, то какова площадь

1) Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см. Тогда другая сторона будет равна \(3x\) см. Периметр прямоугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:

\[P = 2(x + 3x) = 8x\]

Из условия периметра \(P = 72\) см, мы можем записать уравнение:

\[8x = 72\]

Чтобы найти значение \(x\), разделим обе части уравнения на 8:

\[x = 9\]

Таким образом, длина одной стороны равна 9 см, а длина другой стороны равна \(3x = 3 \cdot 9 = 27\) см.

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы умножаем длину на ширину:

\[S = 9 \cdot 27 = 243\]

Ответ: Площадь прямоугольника равна 243 квадратных сантиметров.

Чтобы найти периметр треугольника, построенного на стороне прямоугольника, мы будем использовать формулу для нахождения периметра равностороннего треугольника. В данной задаче все стороны треугольника равны длине стороны прямоугольника, а значит:

\[P_{\text{треугольника}} = 3 \cdot x = 3 \cdot 9 = 27\]

Ответ: Периметр треугольника равен 27 см.

2) Пусть площадь одной прямоугольной части равна \(A\) (в квадратных единицах), тогда площадь другой части будет равна \(\frac{A}{2}\).

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Пусть длина прямоугольника равна \(x\) и ширина равна \(y\).

Из условия задачи мы имеем следующую систему уравнений:

\[\begin{cases} xy = A \\ (x+y)x + (x+y)y = 2A \end{cases}\]

Преобразуем второе уравнение:

\[(x + y)(x + y) = 2A\]

\[x^2 + 2xy + y^2 = 2A\]

Теперь мы можем заменить \(xy\) на \(A\) (в соответствии с первым уравнением):

\[x^2 + 2A + y^2 = 2A\]

Упрощаем выражение:

\[x^2 + y^2 = 0\]

Так как \(x\) и \(y\) - длины сторон прямоугольника, они не могут быть отрицательными. Поэтому \(x = y = 0\).

В итоге получаем, что у прямоугольника стороны равны нулю, что противоречит его определению. Значит, данная ситуация невозможна.

Ответ: Не существует прямоугольника, который можно разделить на две прямоугольные части так, чтобы площадь одной части была в два раза меньше площади другой.

3) Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см. Тогда другая сторона будет равна \(x + 15\) мм, так как одна из сторон больше на 15 мм чем другая.

Периметр прямоугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:

\[P = 2(x + (x + 15)) = 2(2x + 15)\]

Из условия периметра \(P = 15\) см, мы можем записать уравнение:

\[2(2x + 15) = 15\]

Для начала упростим уравнение:

\[4x + 30 = 15\]

Вычтем 30 из обеих частей уравнения:

\[4x = -15\]

Разделим обе части уравнения на 4:

\[x = \frac{-15}{4}\]

Таким образом, одна сторона равна \(\frac{-15}{4}\) см, а другая сторона равна \(\frac{-15}{4} + 15\) мм.

Ответ: Стороны прямоугольника равны \(\frac{-15}{4}\) см и \(\frac{-15}{4} + 15\) мм. Площадь прямоугольника не может быть определена, так как одна из сторон получилась отрицательной, что не допустимо в данной задаче.