1) Если MN равно 35 и MQ равно 37, то какое значение имеет радиус окружности? 2) Вокруг окружности с центром и радиусом

Ура! Давайте решим эти математические задачи по порядку!

1) Дано: \(MN = 35\) и \(MQ = 37\). Нам нужно найти значение радиуса \(r\) окружности.

Для начала заметим, что \(MN\) и \(MQ\) -- это два отрезка, которые являются хордами окружности. Вспомним основную формулу, связывающую радиус окружности и длины хорды: \(r = \frac{{d}}{{2}}\), где \(d\) -- длина хорды.

Первым делом нам нужно определить длины данных хорд. Заметим, что треугольник \(MNQ\) -- это равнобедренный треугольник, так как \(MN = MQ\). Значит, \(MNQ\) -- это трапеция.

Чтобы найти длину хорды \(MN\) (или \(MQ\)), мы можем использовать теорему пифагора: квадрат длины хорды равен разности квадратов половин диаметра и высоты трапеции.

Диаметр окружности можно найти как сумму длин хорды и высоты трапеции: \(d = MN + MQ\).

Из условия дано, что \(MN = 35\) и \(MQ = 37\), поэтому \(d = 35 + 37 = 72\).

Теперь мы можем найти длину хорды \(MN\) (или \(MQ\)) с использованием теоремы Пифагора: \(MN^2 = \frac{d^2}{4} - h^2\), где \(h\) -- высота трапеции.

Давайте найдем h. Заметим, что \(MK\) -- это высота трапеции, так как \(MK\) перпендикулярен \(MN\) и \(KQ\), а \(MK\) соединяет середины \(MN\) и \(KQ\).

Теперь давайте найдем \(MK\) с использованием теоремы Пифагора в треугольнике \(MKQ\). Мы знаем, что \(MQ = 37\) и \(KQ = \frac{d}{2} = \frac{72}{2} = 36\), поэтому можно записать:

\[MK^2 = MQ^2 - KQ^2 = 37^2 - 36^2 = 1369 - 1296 = 73\]

Таким образом, \(MK = \sqrt{73}\).

Теперь мы можем найти \(h\) как разность радиуса и \(MK\): \(h = r - MK\). Подставим известные значения:

\(\sqrt{73} = r - \sqrt{73}\)

Сложим \(\sqrt{73}\) к обеим сторонам уравнения:

\(2\sqrt{73} = r\)

Таким образом, радиус окружности \(r\) равен \(2\sqrt{73}\).

2) Дано: радиус \(R = 18\) см, касательная \(EK\), на которой \(ED = EK\). Нам нужно найти значение \(DK\).

Здесь нам пригодится свойство касательной, которое гласит, что касательная, проведенная из внешней точки к окружности, является перпендикуляром к радиусу, опущенному в точку касания.

Мы знаем, что \(EK\) -- это касательная, а также что \(ED = EK\). Таким образом, точка \(D\) является серединой отрезка \(EK\).

Так как точка \(D\) является серединой отрезка \(EK\), то \(DK\) равен половине длины \(EK\).

Таким образом, \(DK = \frac{{EK}}{2}\).

Мы знаем, что радиус \(R = 18\) см, а отрезок \(EK\) -- это диаметр окружности. Значит, \(EK = 2R = 2 \times 18 = 36\) см.

Теперь мы можем найти \(DK\):

\(DK = \frac{{EK}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\) см.

Таким образом, \(DK = 18\) см.

3) Дано: \(SD\) -- касательная к окружности с центром \(K\) и радиусом 8. Нам нужно найти значение \(SK\), если \(SD\) равно.

В этой задаче нам поможет свойство касательной, которое гласит, что касательная, проведенная из внешней точки к окружности, является перпендикуляром к радиусу, опущенному в точку касания.

Мы знаем, что \(SD\) является касательной, поэтому линия, проходящая через точку \(D\) и центр \(K\), будет перпендикулярна к \(SD\).

Такая линия будет также являться радиусом окружности. Значит, отрезок \(SK\) будет равен радиусу окружности.

Мы знаем, что радиус окружности \(r = 8\), поэтому \(SK = r = 8\).

Таким образом, \(SK = 8\).