1. Если длина стороны треугольника составляет 5 см, а углы, примыкающие к ней, равны 45° и 105°, то какие длины

1. Чтобы найти длины дуг, которые делит описанная окружность на вершины треугольника, нам нужно знать радиус этой окружности. Радиус можно найти, используя свойство описанной окружности.

По свойству описанной окружности, центр окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине стороны треугольника. Высота треугольника, проведенная к длинной стороне, является радиусом описанной окружности.

Чтобы найти радиус, нужно найти высоту треугольника. Мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением для нахождения высоты.

Пусть A и B - углы, прилежащие к стороне длиной 5 см, а C - третий угол треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°: 45° + 105° + C = 180°. Решая это уравнение, находим, что C = 30°.

Теперь мы можем использовать тангенс угла C, чтобы найти высоту треугольника. Так как мы знаем длину стороны и угол, мы можем записать следующее уравнение:

\( \tan(30°) = \frac{{\text{{высота}}}}{{5 \text{{ см}}}} \)

Решая это уравнение, находим высоту треугольника: высота = 5 см * \( \tan(30°) \).

Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем найти радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен высоте треугольника, поэтому радиус = высота треугольника.

Итак, радиус описанной окружности треугольника составляет высоту треугольника, найденную ранее.

Теперь мы можем найти длины дуг, которые делит описанная окружность на вершины треугольника. Дуга, которую делит описанная окружность при угле 45°, составляет часть окружности в доле 45° от общей длины окружности.

Аналогично, дуга, которую делит описанная окружность при угле 105°, составляет часть окружности в доле 105° от общей длины окружности.

Для нахождения длин этих дуг, мы можем использовать формулу для нахождения длины дуги:

\( \text{{длина дуги}} = \frac{{\text{{величина угла}}}}{{360°}} \times 2\pi\text{{r}} \),

где r - радиус описанной окружности.

Итак, дуга, которую делит описанная окружность треугольника при угле 45°, будет равна \( \frac{{45°}}{{360°}} \times 2\pi\text{{r}} \) и дуга, которую делит описанная окружность при угле 105°, будет равна \( \frac{{105°}}{{360°}} \times 2\pi\text{{r}} \).

2. Чтобы найти сторону правильного треугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан правильный шестиугольник, нам понадобится знание радиуса окружности.

Мы знаем, что сторона вписанного правильного шестиугольника равна 9 см. Используя свойство вписанного правильного многоугольника, мы можем найти радиус окружности.

Радиус окружности, в которую вписан правильный шестиугольник, равен половине длины стороны вписанного шестиугольника.

Таким образом, радиус окружности будет равен половине стороны вписанного правильного шестиугольника, то есть радиус = 9 см / 2.

Теперь, чтобы найти сторону правильного треугольника, описанного вокруг этой окружности, нам нужно знать длину радиуса описанной окружности.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен стороне треугольника, поэтому радиус описанной окружности = радиус.

Так как правильный треугольник вписан в описанную окружность, его сторона будет равна диаметру этой окружности.

Итак, длина стороны правильного треугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан правильный шестиугольник, будет равна двукратному радиусу, то есть сторона = 2 * радиус. Таким образом, сторона правильного треугольника будет равна 2 * радиус.