1) Довести, що бісектриса bm трикутника abc є площиною, проведеною через прямі bc і ba. 2) Побудувати проекцію

1) Щоб довести, що бісектриса bm трикутника abc є площиною, проведеною через прямі bc і ba, розглянемо кут b в трикутнику abc.

За визначенням бісектриси, бісектриса bm поділяє кут b на два рівні кути bmc і bma.

Спочатку покажемо, що точка m лежить на прямій bc.

Розглянемо трикутник bmc. За властивостями бісектриси, кут bmc дорівнює півсумі кутів b і c. Таким чином, кут bmc = (1/2)(b+c).

Розглянемо трикутник bma. Знову за властивостями бісектриси, кут bma дорівнює півсумі кутів b і a. Таким чином, кут bma = (1/2)(b+a).

Оскільки сума кутів трикутника abc дорівнює 180 градусам, то (1/2)(b+c) + (1/2)(b+a) = 180°.

Спрощуючи це рівняння, маємо b+c+b+a = 360°, що еквівалентно 2b+2c+2a = 360°.

Таким чином, маємо b+c+a = 180°, що означає, що кути bmc і bma разом становлять кут b.

Отже, точка m лежить на прямій bc.

Тепер доведемо, що точка m лежить на прямій ba.

Розглянемо трикутник bma. За властивостями бісектриси, кут bma дорівнює півсумі кутів b і a. Таким чином, кут bma = (1/2)(b+a).

Розглянемо трикутник bam. Оскільки кут bam дорівнює куту bma, то кут bam = (1/2)(b+a).

Отже, кути bma і bam рівні, що означає, що пряма bm перетинає пряму ba в точці m.

Таким чином, ми довели, що бісектриса bm трикутника abc є площиною, проведеною через прямі bc і ba.

2) Для побудови проекції перпендикуляра, проведеного з точки k, що лежить на стороні av, до діагоналі ac паралелограма abcd, який є паралельною проекцією ромбу, розглянемо наступні кроки:

- Позначимо точку, в якій проведений перпендикуляр перетинає діагональ ac, як b.
- Представимо вектор ab у вигляді суми векторів av і vb: ab = av + vb.
- Оскільки abcd - паралелограм, то вектор ab дорівнює вектору dc, тобто ab = dc.
Тому ми маємо рівність: av + vb = dc.
- Оскільки abcd є паралельною проекцією ромбу, то вектор av дорівнює вектору сm, де m є середина діагоналі bd.
Запишемо отриману рівність векторів у вигляді: сm + vb = dc.
- Оскільки вектор dc дорівнює нульовому вектору (паралелограм abcd - паралельна), то сm + vb = 0.
Звідси ми можемо виразити vb: vb = -сm.
- Отримуємо, що вектор vb дорівнює мінус вектору сm.
- Побудова проекції перпендикуляра проводиться з допомогою паралелограму abcd. Визначаємо точку n, що є вершиною паралелограму abcd протилежною до точки c, і побудовуємо вектор nd паралельний вектору cb. Точка перетину вектору nd і прямою km є шуканою проекцією перпендикуляра, проведеного з точки k, до діагоналі ac.

Застосовуючи цей алгоритм, ви зможете побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з точки k, що лежить на стороні av, до діагоналі ac паралелограма abcd, який є паралельною проекцією ромбу.

3) Щоб знайти довжину відрізка аа1, врахуємо, що kk1 = 8 см, ll1 = 2 см, і відрізок kl перетинає площину beta, через точки k, l і середину a відрізка kl, проведено паралельні прямі, які перетинають деяку площину beta в кочках k1, l1, і a1 відповідно.

Оскільки пряма kl паралельна прямим kk1 і ll1, то за властивостями паралельних прямих, відрізки ak і ka1 мають однакові довжини. Тобто, довжина відрізка аа1 дорівнює довжині відрізка ak.

Також, оскільки а1 є серединою відрізка l1k1, а kl паралельна k1l1, то за властивостями серединного перпендикуляра, відрізок а1л1 дорівнює відрізку а1k1. Тобто, довжина відрізка ам1 дорівнює довжині відрізка ak.

Отже, довжина відрізка аа1 дорівнює довжині відрізка ak. Задані значення kk1 = 8 см, тому довжина відрізка аа1 також дорівнює 8 см.