1. Докажите, что время, в течение которого тело будет находиться в воздухе до момента его падения на землю, вдвое

Задача 1: Докажите, что время, в течение которого тело будет находиться в воздухе до момента его падения на землю, вдвое больше времени, которое требуется телу для подъема до максимальной высоты после броска с поверхности земли.

Для начала, рассмотрим движение тела при броске вертикально вверх и его движение при падении обратно на землю. При подъеме, тело движется против гравитационной силы и его скорость уменьшается до нуля в точке максимальной высоты. Затем тело начинает падать вниз под действием гравитации и его скорость увеличивается.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законами движения, а именно уравнениями для свободного падения:

\[v = u + gt\]
\[s = ut + \frac{1}{2}gt^2\]

Где:
- \(v\) - конечная скорость
- \(u\) - начальная скорость
- \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с² на поверхности Земли)
- \(t\) - время
- \(s\) - пройденное расстояние

Рассмотрим движение тела при подъеме. Начальная скорость \(u\) равна нулю, так как тело начинает движение с покоя. Максимальная высота достигается в тот момент, когда скорость \(v\) становится равной нулю. Используем первое уравнение:

\[0 = u + gt\]
\[0 = 0 + gt\]
\[gt = 0\]
\[t = 0\]

Таким образом, время подъема для тела равно нулю.

Рассмотрим движение тела при падении. Начальная скорость \(u\) равна нулю, так как тело сначала находится в покое перед падением. Расстояние \(s\) равно максимальной высоте, которую тело достигло при подъеме. Используем второе уравнение:

\[s = ut + \frac{1}{2}gt^2\]
\[s = 0t + \frac{1}{2}gt^2\]
\[s = \frac{1}{2}gt^2\]

Таким образом, максимальная высота \(s\) связана с временем падения \(t\) при помощи этого уравнения.

Теперь мы можем рассмотреть время, в течение которого тело находится в воздухе до момента его падения на землю. Оно будет равно удвоенному времени подъема, так как время падения равно времени подъема:

\[t_{\text{воздуха}} = 2t_{\text{подъема}}\]

Таким образом, мы доказали, что время, в течение которого тело будет находиться в воздухе до момента его падения на землю, вдвое больше времени, которое требуется телу для подъема до максимальной высоты после броска с поверхности земли.

Задача 2: При броске вертикально вверх со скоростью 15 м/с, какая скорость будет у тела при его возвращении в точку броска? Предоставьте решение, указав заданные условия и шаги решения.

Для решения этой задачи воспользуемся законами движения.

При броске вертикально вверх, начальная скорость \(u\) равна 15 м/с. Ускорение свободного падения \(g\) приближенно равно 9.8 м/с² на поверхности Земли.

Когда тело вернется в точку броска, его конечная скорость \(v\) будет такой же по модулю, но противоположной по направлению. Используем первое уравнение:

\[v = u + gt\]

При возвращении в точку броска, тело достигнет той же высоты, что и исходно.

Поскольку тело движется вертикально вверх, скорость достигнет нуля на некотором моменте времени \(t\), после чего начнет убывать и станет отрицательной. Чтобы найти этот момент времени, уравняем скорость в уравнении выше по модулю нулю и решим его относительно \(t\):

\[0 = 15 + 9.8t\]

\[9.8t = -15\]

\[t = \frac{-15}{9.8}\]

\[t \approx -1.53\]

Так как время не может быть отрицательным, мы игнорируем отрицательное значение и берем только положительное значение времени.

Теперь, чтобы найти конечную скорость \(v\), рассмотрим временной интервал от момента броска до момента возвращения в точку броска. В этот промежуток времени тело будет двигаться вверх и затем начнет двигаться вниз. Вернувшись в точку броска, его конечная скорость будет такой же по модулю, но противоположной по направлению.

Таким образом, конечная скорость будет равна противоположной по направлению начальной скорости:

\[v = -15\, \text{м/с}\]

Таким образом, при возвращении в точку броска, у тела будет скорость -15 м/с (противоположной по направлению исходной скорости).