1. Докажите, что треугольники ABC и CBD (рис. 44) равны, если AB = BC и угол ABD равен углу CBD. 2. Найдите длины

Обращение к задаче 1.
Для доказательства равенства треугольников ABC и CBD, имея AB = BC и угол ABD = углу CBD, воспользуемся двумя следующими фактами:

1) Совпадение двух сторон и противолежащих им углов влечет за собой равенство треугольников. Это свойство называется "сторона-угол-сторона" (SUS).

2) Равенство углов треугольников влечет за собой равенство сторон, противолежащих этим углам. Это свойство называется "угол-сторона-угол" (USU).

Применим эти свойства для доказательства равенства треугольников ABC и CBD:

AB = BC (дано)
угол ABD = углу CBD (дано)

Используя свойство SUS, мы можем сделать вывод:

треугольник ABD равен треугольнику CBD (по стороне AB = BC и углу ABD = углу CBD)

Таким образом, треугольники ABC и CBD равны.

Обращение к задаче 2.
Для нахождения длин сторон равнобедренного треугольника с периметром 30 см и одной из боковых сторон, которая меньше основания на 6 см, воспользуемся следующими шагами:

Пусть основание треугольника равно a см, а каждая из равных сторон равна b см. Тогда периметр треугольника равен 2b + a см.

Условие задачи говорит нам, что периметр равен 30 см:

2b + a = 30.

Также известно, что одна из боковых сторон меньше основания на 6 см:

b = a - 6.

Подставим это значение в уравнение для периметра:

2(a - 6) + a = 30.

Раскроем скобки и соберем все переменные:

2a - 12 + a = 30,
3a - 12 = 30,
3a = 42,
a = 14.

Теперь, найдя значение a, можно найти значение b:

b = a - 6,
b = 14 - 6,
b = 8.

Таким образом, длина основания треугольника равна 14 см, а длина каждой из равных сторон равна 8 см.

Обращение к задаче 3.
Для доказательства AM = CK, имея равнобедренный треугольник ABC, в котором ABM = CBK и точка M находится между точками А и К, воспользуемся следующими шагами:

По условию задачи, у нас есть равенство углов ABM = CBK.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, это означает, что стороны AB и AC равны.

Используя свойство USU, мы можем сделать вывод:

треугольник ABM равен треугольнику CBK (по углу ABM = углу CBK, стороне AB = BC и углу BAM = углу BCK).

Таким образом, по свойству равенства треугольников, получаем, что AM = CK.

Обращение к задаче 4.
Для доказательства угла ВО равен 10, имея AB = AD и BC = DC, воспользуемся следующими шагами:

Из условия задачи, у нас есть равенства сторон AB = AD и BC = DC.

Таким образом, у нас имеется пара равных сторон приложенных к одному углу.

Используя свойство USU, мы можем сделать вывод:

треугольник ABD равен треугольнику BCD (по стороне AB = AD, стороне BC = DC и углу ABD = углу BCD).

Следовательно, угол ВО равен 10.

Обращение к задаче 5.
Для нахождения длины стороны AC треугольника ABC, если медиана BM перпендикулярна его биссектрисе AD, применим следующие шаги:

Обозначим длину стороны AC как x.

Медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому длина AM также равна x.

Также, по условию, медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD, что означает, что угол ADB является прямым углом.

Рассмотрим треугольник ADB. Он является прямоугольным треугольником с биссектрисой AD.

Для прямоугольного треугольника известно, что длина биссектрисы равна половине гипотенузы. Так как AM = x, то BM также равно x.

Таким образом, получаем, что BM = AM = x.

Поэтому, BC = x, так как BM делит сторону AC пополам.

Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна x, а значит, равна длине BC.

ОТВЕТ: Длина стороны AC треугольника ABC равна длине стороны BC.