1) Докажите, что прямая (AFC) перпендикулярна прямоугольнику ABCD, если точка F находится на равном удалении

Задача 1: Доказательство перпендикулярности прямой (AFC) и прямоугольника ABCD.

Чтобы доказать, что прямая (AFC) перпендикулярна прямоугольнику ABCD, мы должны показать, что эти две линии образуют прямой угол, то есть угол между ними равен 90 градусам.

Чтобы начать, давайте представим прямоугольник ABCD на графике. Предположим, что координаты вершин этого прямоугольника следующие: точка A (x1, y1), точка B (x2, y2), точка C (x3, y3) и точка D (x4, y4).

Теперь, предположим, что точка F находится на равном удалении от вершин прямоугольника ABCD. Пусть расстояние от точки F до вершины A равно d, также расстояние от точки F до вершины B будет равно d, расстояние от точки F до вершины C также будет равно d и расстояние от точки F до вершины D будет равно d.

Теперь мы можем рассмотреть векторы AF, AB и AC. Вектор AF имеет координаты (x - x1, y - y1), где (x, y) - координаты точки F. Вектор AB имеет координаты (x2 - x1, y2 - y1), а вектор AC имеет координаты (x3 - x1, y3 - y1).

Теперь давайте вычислим скалярное произведение векторов AF и AB:

\[
(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AB}) = (x - x1)(x2 - x1) + (y - y1)(y2 - y1)
\]

Теперь давайте вычислим скалярное произведение векторов AF и AC:

\[
(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AC}) = (x - x1)(x3 - x1) + (y - y1)(y3 - y1)
\]

Если прямая (AFC) перпендикулярна прямоугольнику ABCD, то эти два скалярных произведения будут равны нулю. Потому что векторы, перпендикулярные друг другу, образуют прямой угол и скалярное произведение таких векторов равно нулю.

После выполнения несложных алгебраических преобразований выясняется, что если \((x - x1)(x2 - x1) + (y - y1)(y2 - y1) = 0\) и \((x - x1)(x3 - x1) + (y - y1)(y3 - y1) = 0\), то прямая (AFC) будет перпендикулярна прямоугольнику ABCD.

Задача 2: Нахождение длины отрезка.

Пусть длина отрезка равна L.

Мы знаем, что сумма расстояний от каждого из концов отрезка до данной плоскости равна 22 см. Первое расстояние равно 20 см, следовательно, второе расстояние также равно 2 см.

Пусть первое расстояние от конца отрезка до плоскости равно a см, а второе расстояние равно b см.

Тогда у нас есть следующее равенство:

a + b = 22

Также известно, что проекции отрезка на плоскости равны 20 см и 18 см. Пусть проекция первого конца отрезка на плоскость равна c см, а проекция второго конца равна d см.

Тогда у нас есть следующие равенства:

c + d = 20
c + d = 18

Сложим эти два уравнения:

2c + 2d = 38

Разделим обе части на 2:

c + d = 19

Теперь мы имеем систему уравнений:

\begin{cases} a + b = 22 \\ c + d = 19 \end{cases}

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:

(a + b) - (c + d) = 22 - 19

a - c + b - d = 3

Заметим, что a - c это расстояние между проекцией первого конца отрезка и первым расстоянием до плоскости, а b - d это расстояние между проекцией второго конца отрезка и вторым расстоянием до плоскости.

Так как a - c + b - d = 3, то:

L = a - c + b - d = 3

Итак, длина отрезка равна 3 см.