1) Докажите, что одна из диагоналей сечения перпендикулярна плоскости основания, а другая образует прямоугольник

1) Чтобы доказать это, давайте представим параллелепипед и его сечение. Пусть AB и CD будут двумя диагоналями сечения, а EFHG будет прямоугольником, образованным другой диагональю.

Мы знаем, что AB и CD - диагонали параллелепипеда, и они соединяют противоположные вершины. Также известно, что диагонали параллелограмма делятся друг другом пополам.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через вершину A параллелограмма ABHG и параллельную плоскости основания параллелепипеда.

В этой плоскости прямая EF будем пересекать прямой AB. Поскольку прямая EF параллельна плоскости основания, а прямая AB перпендикулярна плоскости основания, следовательно, прямая EF будет перпендикулярна плоскости основания, что и требовалось доказать.

Теперь обратимся к диагонали CD. Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину C параллелограмма CDGH и параллельную плоскости основания параллелепипеда.

В этой плоскости прямая AB будет пересекать прямую CD, образуя прямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, и прямая AB перпендикулярна плоскости основания, следовательно, прямая CD будет образовывать прямоугольник CDAB, что и требовалось доказать.

2) Проекция верхнего основания на нижнее основание будет выглядеть как точка, так как проекция – это перпендикуляр, опущенный из верхнего основания на нижнее. Так как проекция будет перпендикулярна плоскости основания, она будет выглядеть как точка на нижнем основании.

3) Для доказательства этого факта соединим вершину параллелепипеда A с тремя ближайшими вершинами B, C и D. Мы получим три ребра, AB, AC и AD, которые будут образовывать треугольник ABC.

Мы знаем, что в треугольнике ABC два угла равны острым углам ромба и по условию равны 60°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол треугольника ABC также равен 60°.

Теперь взглянем на треугольник ACD, который также образован подобным образом. Поскольку угол ACD равен углу ABC (так как они оба являются острыми углами ромба), а угол CAD равен 60° (так как он равен острой стороне ромба), то сумма углов треугольника ACD также равна 180°.

Таким образом, треугольники ABC и ACD являются равносторонними и равными друг другу. Мы можем построить правильный тетраэдр ABCD, где высотой будет являться сторона параллелепипеда, что и требовалось доказать.