1. Докажите, что граф R, представленный на рисунке 102, обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности

Задача 1. Доказательство свойств графа R:

Для начала, давайте вспомним определения свойств графов.

- Граф R обладает свойством рефлексивности, если каждый элемент имеет ребро, соединяющее его с самим собой. Другими словами, каждая вершина графа имеет петлю, ведущую из нее в нее саму.

- Граф R обладает свойством антисимметричности, если из того, что две вершины связаны ребром, следует, что эти две вершины совпадают. Если \(v_i\) и \(v_j\) — две вершины графа, и существует ребро, связывающее их, то \(v_i = v_j\).

- Граф R обладает свойством транзитивности, если для любых трех вершин графа, если две из них связаны ребром, а первая и третья не связаны напрямую, то между первой и третьей вершинами существует путь через другие вершины.

Теперь перейдем к доказательству этих свойств для графа R, представленного на рисунке 102.

1. Свойство рефлексивности:
В графе R каждая вершина имеет петлю, которая соединяет ее с самой собой. Это означает, что каждая вершина связана с собой, и свойство рефлексивности выполняется.

2. Свойство антисимметричности:
В графе R нет ни одного случая, когда две вершины связаны ребром. Поэтому любые две вершины, для которых существует ребро, будут совпадать. Следовательно, свойство антисимметричности выполняется.

3. Свойство транзитивности:
В графе R у нас есть путь от вершины A к вершине B через вершину C. Это означает, что если вершина A связана с вершиной B, а вершина B связана с вершиной C, то существует путь от вершины A к вершине C через вершину B. Это подтверждает свойство транзитивности.

Таким образом, граф R обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Задача 2. Доказательство свойств графа T:

Для графа T, представленного на рисунке 103, мы должны доказать, что он является симметричным и транзитивным.

1. Симметричность:
Граф T симметричен, если для каждого ребра, соединяющего вершины A и B, существует ребро, соединяющее вершины B и A. В графе T, представленном на рисунке 103, это свойство выполняется. Каждое ребро имеет парное ребро, соединяющее те же две вершины в обратном порядке. Следовательно, граф T является симметричным.

2. Транзитивность:
Чтобы доказать транзитивность графа T, мы должны проверить, что для любых трех вершин A, B и C, если A связана с B ребром и B связана с C ребром, то A также связана с C.

Смотря на граф T, мы можем заметить, что для каждого ребра между вершинами A и B есть другой путь, который связывает те же две вершины. То есть, если A связана с B, а B связана с C, то существует третий путь, через вершину D, который связывает A и C. Поэтому граф T удовлетворяет свойству транзитивности.

Таким образом, граф T является симметричным и транзитивным.

Задача 3. Формулировка условий, при которых отношение не обладает свойством рефлексивности, и доказательство отсутствия рефлексивности графа T:

Отношение на графе не обладает свойством рефлексивности, если любая вершина графа не связана ребром с самой собой.

Давайте проверим граф T, представленный на рисунке 103, на наличие свойства рефлексивности. При анализе графа, мы видим, что ни одна вершина не имеет петли, ведущей от вершины в саму себя. Следовательно, граф T не является рефлексивным.

Таким образом, свойство рефлексивности не выполняется для графа T, представленного на рисунке 103.