Перефразоване питання: А) Як можна записати рівняння прямої, яка є симетричною до прямої у=8 відносно точки (1;3)?

Добро пожаловать! Я помогу вам с решением задачи.

А) Для того чтобы записать уравнение прямой, которая является симметричной относительно прямой \(y = 8\) относительно точки (1,3), мы можем использовать свойство симметрии. В симметричной точке \(P"\) относительно точки \(P\) отрезок \(PP"\) делится пополам прямой \(y = 8\). Таким образом, точка \(P"\) имеет ту же \(y\)-координату, что и точка \(P\), но имеет \(x\)-координату, которая отличается от \(x\)-координаты точки \(P\) на ту же величину, что и расстояние между точкой \(P\) и прямой \(y = 8\).

Для данной задачи, точка \(P\) равна (1,3), а прямая \(y = 8\) представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси \(x\).

Чтобы получить симметричную прямую относительно точки (1,3), нам нужно найти точку \(P"\), которая будет симметричной по отношению к точке (1,3) относительно прямой \(y = 8\).

Расстояние между точкой \(P\) и прямой \(y = 8\) равно разности значения \(y\) точки \(P\) и уравнения прямой \(y = 8\). То есть:

\[d = |y - 8|\]

Так как \(y\) для точки \(P\) равно 3, мы можем записать:

\[d = |3 - 8|\]

Вычисляя разность, получаем:

\[d = |-5|\]

Что равно 5.

Итак, мы нашли расстояние между точкой \(P\) и прямой \(y = 8\), равное 5. Теперь, чтобы найти симметричную точку \(P"\), мы можем отнять это расстояние от \(x\)-координаты точки \(P\), так как мы ищем точку, которая находится на том же расстоянии от прямой, но в противоположную сторону.

\(x\)-координата точки \(P\) равна 1, поэтому мы можем записать координаты точки \(P"\) следующим образом:

\((x", y") = (1 - d, 3)\)

Подставляя значение расстояния \(d = 5\), получаем:

\((x", y") = (1 - 5, 3)\)

Что представляет точку \((-4, 3)\).

Итак, мы находим, что симметричная точка \(P"\) относительно точки \(P\) относительно прямой \(y = 8\) равна \((-4, 3)\).

Теперь, чтобы записать уравнение прямой, проходящей через точки \(P\) и \(P"\), мы можем использовать формулу наклона-пересечения, которая имеет вид \(y = mx + b\), где \(m\) - это наклон прямой, а \(b\) - значение пересечения с осью \(y\).

Наклон прямой можно найти, используя разность значений \(y\) и разность соответствующих значений \(x\), то есть:

\[m = \frac{{y" - y}}{{x" - x}}\]

Подставляя значения \(x = 1\), \(y = 3\), \(x" = -4\) и \(y" = 3\), получаем:

\[m = \frac{{3 - 3}}{{-4 - 1}}\]

Хотя \(x\) и \(x"\) различаются на 5, значение \(y\) и \(y"\) одинаково, поэтому числитель равен нулю, и наклон прямой будет равен нулю.

Теперь, чтобы найти значение пересечения с осью \(y\), мы можем подставить координаты одной из точек в уравнение прямой. Мы можем использовать точку \(P\), т.к. у нас есть ее координаты \((1, 3)\). Подставляя значения \(x = 1\), \(y = 3\) и \(m = 0\) в формулу \(y = mx + b\), получаем:

\[3 = 0 \cdot 1 + b\]

Что дает \(b = 3\).

Итак, записывая уравнение прямой, проходящей через точки \(P\) и \(P"\), получаем:

\[y = 0 \cdot x + 3\]

Что упрощается до:

\[y = 3\]

Таким образом, уравнение симметричной прямой относительно прямой \(y = 8\) относительно точки (1,3) равно \(y = 3\).

Б) Для записи уравнения прямой, которая является симметричной относительно прямой \(y = -x + 1\) относительно начала координат, мы можем использовать свойство симметрии.

Точка \(P\) симметрична относительно начала координат, если она имеет противоположные значения \(x\) и \(y\). Это значит, что мы можем записать точку \(P\) в виде \((x, -x + 1)\), где \(x\) - это \(x\)-координата точки.

Чтобы получить симметричную точку \(P"\), мы меняем знак у обеих координат точки \(P\), то есть:

\((x", y") = (-x, -(-x + 1)) = (-x, x - 1)\)

Таким образом, симметричная точка \(P"\) относительно начала координат будет иметь координаты \((-x, x - 1)\).

Теперь, чтобы записать уравнение прямой, проходящей через точки \(P\) и \(P"\), мы можем использовать формулу наклона-пересечения.

Наклон прямой можно найти, используя разность значений \(y\) и разность соответствующих значений \(x\), то есть:

\[m = \frac{{y" - y}}{{x" - x}}\]

Подставляя значения \(x = 0\), \(y = -x + 1\), \(x" = -x\) и \(y" = x - 1\), получаем:

\[m = \frac{{(x - 1) - (-x + 1)}}{{(-x) - 0}}\]

Сокращая, получаем:

\[m = \frac{{2x}}{{-x}}\]

Таким образом, наклон прямой будет равен \(-2\).

Теперь, чтобы найти значение пересечения с осью \(y\), мы можем использовать значение пересечения с началом координат, которое равно 1. Таким образом, у нас уже есть значение пересечения с осью \(y\).

Итак, записывая уравнение прямой, проходящей через точки \(P\) и \(P"\), получаем:

\[y = -2x + 1\]

Таким образом, уравнение симметричной прямой относительно прямой \(y = -x + 1\) относительно начала координат будет иметь вид \(y = -2x + 1\).

Надеюсь, это помогло вам понять, как записать уравнение симметричной прямой относительно заданных условий. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне!