1. Determine the value of k for the spider s web, given that a cockroach with a mass of m = 0.40g gets caught

Задача 1. Для начала, нам нужно налжить серединную частоту вибраций паутины через формулу связи между частотой и жесткостью:

$$v=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$

где $v$ - частота вибраций, $k$ - жесткость паутины, $m$ - масса насекомого.
Подставляя известные значения, получаем:

$$20=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{0.40}}$$

Для определения $k$ из этого уравнения, нам нужно перемножить обе стороны на $\frac{2\pi }{\sqrt{0.40}}$.
Получаем:

$$k=(20\cdot 2\pi {)}^2\cdot 0.40\approx 100.53\text{Н/м}$$

Теперь, для нахождения частоты $v_1$, когда масса насекомого равна $0.10$ г, мы можем использовать ту же самую формулу:

$$v_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{0.10}}$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$v_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{100.53}{0.10}}\approx 63.67\text{Гц}$$

Задача 2. Нам нужно определить частоту $v$, когда масса насекомого равна $0.20$ г, используя ту же самую формулу:

$$v=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{0.20}}$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$v=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{0.20}{0.20}}=1\text{Гц}$$

Задача 3. Для начала, давайте определим период $T$ для маятника, используя формулу периода колебаний:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

где $T$ - период колебаний, $\omega$ - циклическая частота.
Это означает, что $\omega =\frac{2\pi }{T}$.
В нашем случае, у нас дано уравнение для $x(t)$, где $x$ - смещение маятника от положения равновесия в момент времени $t$:

$$x(t)=0.1\cos (\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{4})$$

Сравнивая это уравнение с общей формулой $x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$, мы можем сделать вывод, что:

$$\omega =\frac{\pi }{2}$$

Теперь мы можем выразить период $T$ через циклическую частоту $\omega$:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{2}}=4\text{сек}$$

Период колебаний связан с длиной $l$ нити маятника следующим образом:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

где $g$ - ускорение свободного падения.
Подставляя известные значения, получаем:

$$4=2\pi \sqrt{\frac{l}{9.8}}$$

Для решения этого уравнения, как и в предыдущих задачах, мы будем перемножать обе стороны на $\frac{1}{2\pi }$ и возводить в квадрат. Получаем:

$$l={\left(\frac{4}{2\pi }\right)}^2\cdot 9.8\approx 0.16\text{м (или 16 см)}$$

Надеюсь, это разъясняет все три задачи и помогает с их решением. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!