1. Determine the value of k for the spider s web, given that a cockroach with a mass of m = 0.40g gets caught

Задача 1. Для начала, нам нужно налжить серединную частоту вибраций паутины через формулу связи между частотой и жесткостью:

\[v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

где \(v\) - частота вибраций, \(k\) - жесткость паутины, \(m\) - масса насекомого.
Подставляя известные значения, получаем:

\[20 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{0.40}}\]

Для определения \(k\) из этого уравнения, нам нужно перемножить обе стороны на \(\frac{2\pi}{\sqrt{0.40}}\).
Получаем:

\[k = (20 \cdot 2\pi)^2 \cdot 0.40 \approx 100.53 \, \text{Н/м}\]

Теперь, для нахождения частоты \(v_1\), когда масса насекомого равна \(0.10\) г, мы можем использовать ту же самую формулу:

\[v_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{0.10}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[v_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{100.53}{0.10}} \approx 63.67 \, \text{Гц}\]

Задача 2. Нам нужно определить частоту \(v\), когда масса насекомого равна \(0.20\) г, используя ту же самую формулу:

\[v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{0.20}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{0.20}{0.20}} = 1 \, \text{Гц}\]

Задача 3. Для начала, давайте определим период \(T\) для маятника, используя формулу периода колебаний:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

где \(T\) - период колебаний, \(\omega\) - циклическая частота.
Это означает, что \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).
В нашем случае, у нас дано уравнение для \(x(t)\), где \(x\) - смещение маятника от положения равновесия в момент времени \(t\):

\[x(t) = 0.1 \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4}\right)\]

Сравнивая это уравнение с общей формулой \(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\), мы можем сделать вывод, что:

\[\omega = \frac{\pi}{2}\]

Теперь мы можем выразить период \(T\) через циклическую частоту \(\omega\):

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4 \, \text{сек}\]

Период колебаний связан с длиной \(l\) нити маятника следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения.
Подставляя известные значения, получаем:

\[4 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{9.8}}\]

Для решения этого уравнения, как и в предыдущих задачах, мы будем перемножать обе стороны на \(\frac{1}{2\pi}\) и возводить в квадрат. Получаем:

\[l = \left(\frac{4}{2\pi}\right)^2 \cdot 9.8 \approx 0.16 \, \text{м (или 16 см)}\]

Надеюсь, это разъясняет все три задачи и помогает с их решением. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!