1. Determine the parallel lines when given a plane β and the lines a, b, and c, with two of the three given lines being

1. Определение параллельных линий, когда дана плоскость β и линии a, b и c, при условии, что две из трех данных линий параллельны.

Для того чтобы определить параллельные линии, когда задана плоскость β и линии a, b и c, необходимо проверить, являются ли две из трех данных линий параллельными на основании их взаимного расположения относительно плоскости.

1. Построим плоскость β и линии a, b и c. Из предположения известно, что две из трех данных линий параллельны. Пусть линии a и b параллельны, а линия c пересекает их в точке P.

2. Поскольку линии a и b параллельны, они имеют одинаковый наклон относительно плоскости β. Это означает, что все точки на линии a имеют одинаковое расстояние от плоскости β, аналогично для линии b.

3. Так как линия c пересекает параллельные линии a и b, она имеет различное расстояние до плоскости β для разных точек. Значит, линия c не является параллельной линиями a и b.

Итак, параллельные линии изображены на диаграмме следующим образом:
\[a \parallel b, c \not\parallel a, c \not\parallel b.\]

2. Найдите длину отрезка MM1, когда параллельные линии пересекают плоскость α в точках A1, B1 и M1, проведенных через концы A и B и середину M отрезка AB. Предположим, что AB не пересекает плоскость α, и что AA1 = 10 м и BB1 = 14 м.

Для нахождения длины отрезка MM1, используем теорему о средней линии треугольника.

1. Проведем линии AB, A1B1 и MM1 на диаграмме, в соответствии с условием задачи.

2. Так как AB параллельно плоскости α, линии A1B1 и AB пересекаются параллельно (A1B1 || AB). В результате проведенных линий получаем треугольник A1AB, где A1B1 является основанием, а MM1 - серединной линией.

3. По теореме о средней линии треугольника, длина серединной линии равна половине суммы длин оснований:

\[
MM1 = \frac{AA1 + BB1}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{м}.
\]

Итак, длина отрезка MM1 равна 12 м.

3. Через конец А отрезка AB проведена плоскость. Через конец B и точку C этого отрезка проведена плоскость.

1. Построим отрезок AB и плоскость, проведенную через его конец A.

2. Чтобы провести плоскость через конец B и точку C этого отрезка, воспользуемся свойством, что плоскость проходит через три точки, не лежащие на одной прямой.

3. Построим прямую, проходящую через конец B и точку C отрезка AB. Затем, проведем плоскость через эту прямую и конец B отрезка AB.

Таким образом, плоскость будет проходить через точки A, B и C отрезка AB.