1. Что такое угол между векторами ом и он в равнобедренной трапеции oacb, где MI и N - середины сторон BC = 2 и AC = 2, а острый угол трапеции равен 60°?
2. Какое уравнение прямой и длина образовавшейся хорды, если через фокус параболы у* = -4х проходит прямая, образующая угол 120° с осью ох?
3. Как найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого а(-4; 2), b(2; -5), c(5; 0)?
4. Какое уравнение эллипса, если он симметричен относительно осей координат, его фокусы находятся на оси ох, проходит через точку М(-4; 21) и имеет эксцентриситет ε = 3/4?
2. Какое уравнение прямой и длина образовавшейся хорды, если через фокус параболы у* = -4х проходит прямая, образующая угол 120° с осью ох?
3. Как найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого а(-4; 2), b(2; -5), c(5; 0)?
4. Какое уравнение эллипса, если он симметричен относительно осей координат, его фокусы находятся на оси ох, проходит через точку М(-4; 21) и имеет эксцентриситет ε = 3/4?
Nikolay_9154
1. Угол между векторами \(\mathbf{OM}\) и \(\mathbf{ON}\) в равнобедренной трапеции \(OACB\) можно вычислить, используя свойство скалярного произведения векторов. Сначала найдем векторы \(\mathbf{OM}\) и \(\mathbf{ON}\).
Поскольку \(\mathbf{M}\) и \(\mathbf{N}\) - середины сторон \(BC\) и \(AC\), соответственно, то мы можем найти координаты этих точек. Пусть \(B\) имеет координаты \((x_1, y_1)\), а \(C\) - \((x_2, y_2)\).
Так как \(BC\) - сторона равнобедренной трапеции, то \(BC = 2\), а значит \(\mathbf{BС} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2, 0)\).
Также, учитывая, что острый угол трапеции равен \(60^\circ\), мы можем записать систему уравнений:
\[
\begin{cases}
(x_2 - x_1)^2 + y_1^2 = 4 \\
(x_1 + x_2)^2 + y_2^2 = 4 \\
y_1^2 + y_2^2 = 4
\end{cases}
\]
Решение этой системы даст нам значения \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\), \(y_2\).
После того как мы нашли координаты точек \(\mathbf{M}\) и \(\mathbf{N}\), мы можем найти векторы \(\mathbf{OM}\) и \(\mathbf{ON}\). Для этого просто отнимем координаты точки \(O\) от координат точек \(\mathbf{M}\) и \(\mathbf{N}\).
После нахождения векторов \(\mathbf{OM}\) и \(\mathbf{ON}\), мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{OM} \cdot \mathbf{ON}}}{{\|\mathbf{OM}\| \cdot \|\mathbf{ON}\|}}
\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\mathbf{OM}\|\) и \(\|\mathbf{ON}\|\) - длины векторов.
2. Чтобы найти уравнение прямой и длину образовавшейся хорды, необходимо учесть следующие свойства параболы.
Уравнение параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, может быть записано в виде \(\mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x}^2 + \mathbf{B}\mathbf{x} + \mathbf{C}\), где \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) - векторы, \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) и \(\mathbf{C}\) - матрицы с соответствующими коэффициентами.
По условию, парабола задана уравнением \(y = -4x^2\). Мы видим, что коэффициенты \(a\) и \(b\) равны -4 и 0 соответственно.
Зная коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем записать матрицы \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) и \(\mathbf{C}\):
\[
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}, \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}
\]
Теперь мы можем определить уравнение прямой, проходящей через фокус параболы и образующей угол 120° с осью \(Ox\). Поскольку мы не знаем точные координаты фокуса, но знаем, что прямая проходит через него, мы можем записать общее уравнение прямой \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент прямой, а \(b\) - точка пересечения прямой с осью \(Oy\).
Учитывая условие задачи, мы знаем, что угол между прямой и осью \(Ox\) составляет 120°. Отсюда следует, что \(\tan(120^\circ) = m\), так как \(\tan\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Исходя из этого, мы определяем \(m\) и находим угловой коэффициент прямой. Далее, используя известные координаты фокуса параболы и уравнение прямой, мы можем найти точку пересечения прямой с осью \(Oy\) и получить значение \(b\). Теперь у нас есть уравнение прямой вида \(y = mx + b\).
Чтобы найти длину образовавшейся хорды, мы должны найти расстояние между точками, в которых прямая пересекает параболу. Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
где \(d\) - расстояние между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).
3. Чтобы найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника с вершинами \(A(-4, 2)\), \(B(2, -5)\) и \(C(5, 0)\), мы можем использовать свойства медиан и высот треугольника.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения точки пересечения медиан, нам нужно найти середины сторон треугольника.
Середина отрезка с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) может быть найдена по формуле:
\[
\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)
\]
Мы можем найти середины сторон треугольника \(AB\) и \(BC\) с помощью этой формулы. Затем, чтобы найти точку пересечения медиан, нам нужно найти середину стороны треугольника \(AC\).
Что касается точки пересечения высот треугольника, нам нужно знать уравнения высот. Высота треугольника - это отрезок, проходящий через вершину треугольника и перпендикулярный стороне, противолежащей этой вершине.
Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), может быть найдено по формуле:
\[
y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)
\]
Мы можем использовать эту формулу для нахождения уравнений высот треугольника. Зная уравнения высот, мы можем решить систему уравнений из трех высот треугольника, составленную из уравнений прямых, и найти точку их пересечения.
4. Чтобы найти уравнение эллипса, который симметричен относительно осей координат, имеет фокусы на оси \(Ox\), проходит через точку \(M(-4, 21)\) и имеет эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{3}{4}\), нужно учесть свойства эллипсов.
Эллипс имеет два фокуса, которые находятся на оси \(Ox\). Пусть фокусы \(F_1\) и \(F_2\) имеют координаты \((c, 0)\) и \((-c, 0)\), соответственно. В данном случае, фокусы эллипса находятся на оси \(Ox\), поэтому \(c > 0\).
Известно, что эксцентриситет эллипса задается формулой:
\[
\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}
\]
где \(a\) - большая полуось, а \(b\) - малая полуось эллипса.
Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то \(a\) и \(b\) равны.
Используя данный эксцентриситет, мы можем выразить \(b\) через \(a\):
\[
b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}
\]
Теперь, зная координаты фокусов и одну точку эллипса, мы можем найти \(c\) с помощью формулы:
\[
c = \frac{a\varepsilon}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}
\]
После нахождения \(a\) и \(c\), мы можем записать уравнение эллипса в канонической форме:
\[
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1
\]
где \((h, k)\) - координаты центра эллипса. Для эллипса, симметричного относительно осей координат, \(h = 0\), \(k = 0\).
Таким образом, уравнение эллипса будет иметь вид:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
где \(a\) и \(b\) - найденные ранее полуоси эллипса.
Поскольку \(\mathbf{M}\) и \(\mathbf{N}\) - середины сторон \(BC\) и \(AC\), соответственно, то мы можем найти координаты этих точек. Пусть \(B\) имеет координаты \((x_1, y_1)\), а \(C\) - \((x_2, y_2)\).
Так как \(BC\) - сторона равнобедренной трапеции, то \(BC = 2\), а значит \(\mathbf{BС} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2, 0)\).
Также, учитывая, что острый угол трапеции равен \(60^\circ\), мы можем записать систему уравнений:
\[
\begin{cases}
(x_2 - x_1)^2 + y_1^2 = 4 \\
(x_1 + x_2)^2 + y_2^2 = 4 \\
y_1^2 + y_2^2 = 4
\end{cases}
\]
Решение этой системы даст нам значения \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\), \(y_2\).
После того как мы нашли координаты точек \(\mathbf{M}\) и \(\mathbf{N}\), мы можем найти векторы \(\mathbf{OM}\) и \(\mathbf{ON}\). Для этого просто отнимем координаты точки \(O\) от координат точек \(\mathbf{M}\) и \(\mathbf{N}\).
После нахождения векторов \(\mathbf{OM}\) и \(\mathbf{ON}\), мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{OM} \cdot \mathbf{ON}}}{{\|\mathbf{OM}\| \cdot \|\mathbf{ON}\|}}
\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\mathbf{OM}\|\) и \(\|\mathbf{ON}\|\) - длины векторов.
2. Чтобы найти уравнение прямой и длину образовавшейся хорды, необходимо учесть следующие свойства параболы.
Уравнение параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, может быть записано в виде \(\mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x}^2 + \mathbf{B}\mathbf{x} + \mathbf{C}\), где \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) - векторы, \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) и \(\mathbf{C}\) - матрицы с соответствующими коэффициентами.
По условию, парабола задана уравнением \(y = -4x^2\). Мы видим, что коэффициенты \(a\) и \(b\) равны -4 и 0 соответственно.
Зная коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем записать матрицы \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) и \(\mathbf{C}\):
\[
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}, \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}
\]
Теперь мы можем определить уравнение прямой, проходящей через фокус параболы и образующей угол 120° с осью \(Ox\). Поскольку мы не знаем точные координаты фокуса, но знаем, что прямая проходит через него, мы можем записать общее уравнение прямой \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент прямой, а \(b\) - точка пересечения прямой с осью \(Oy\).
Учитывая условие задачи, мы знаем, что угол между прямой и осью \(Ox\) составляет 120°. Отсюда следует, что \(\tan(120^\circ) = m\), так как \(\tan\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Исходя из этого, мы определяем \(m\) и находим угловой коэффициент прямой. Далее, используя известные координаты фокуса параболы и уравнение прямой, мы можем найти точку пересечения прямой с осью \(Oy\) и получить значение \(b\). Теперь у нас есть уравнение прямой вида \(y = mx + b\).
Чтобы найти длину образовавшейся хорды, мы должны найти расстояние между точками, в которых прямая пересекает параболу. Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
где \(d\) - расстояние между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).
3. Чтобы найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника с вершинами \(A(-4, 2)\), \(B(2, -5)\) и \(C(5, 0)\), мы можем использовать свойства медиан и высот треугольника.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения точки пересечения медиан, нам нужно найти середины сторон треугольника.
Середина отрезка с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) может быть найдена по формуле:
\[
\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)
\]
Мы можем найти середины сторон треугольника \(AB\) и \(BC\) с помощью этой формулы. Затем, чтобы найти точку пересечения медиан, нам нужно найти середину стороны треугольника \(AC\).
Что касается точки пересечения высот треугольника, нам нужно знать уравнения высот. Высота треугольника - это отрезок, проходящий через вершину треугольника и перпендикулярный стороне, противолежащей этой вершине.
Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), может быть найдено по формуле:
\[
y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)
\]
Мы можем использовать эту формулу для нахождения уравнений высот треугольника. Зная уравнения высот, мы можем решить систему уравнений из трех высот треугольника, составленную из уравнений прямых, и найти точку их пересечения.
4. Чтобы найти уравнение эллипса, который симметричен относительно осей координат, имеет фокусы на оси \(Ox\), проходит через точку \(M(-4, 21)\) и имеет эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{3}{4}\), нужно учесть свойства эллипсов.
Эллипс имеет два фокуса, которые находятся на оси \(Ox\). Пусть фокусы \(F_1\) и \(F_2\) имеют координаты \((c, 0)\) и \((-c, 0)\), соответственно. В данном случае, фокусы эллипса находятся на оси \(Ox\), поэтому \(c > 0\).
Известно, что эксцентриситет эллипса задается формулой:
\[
\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}
\]
где \(a\) - большая полуось, а \(b\) - малая полуось эллипса.
Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то \(a\) и \(b\) равны.
Используя данный эксцентриситет, мы можем выразить \(b\) через \(a\):
\[
b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}
\]
Теперь, зная координаты фокусов и одну точку эллипса, мы можем найти \(c\) с помощью формулы:
\[
c = \frac{a\varepsilon}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}
\]
После нахождения \(a\) и \(c\), мы можем записать уравнение эллипса в канонической форме:
\[
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1
\]
где \((h, k)\) - координаты центра эллипса. Для эллипса, симметричного относительно осей координат, \(h = 0\), \(k = 0\).
Таким образом, уравнение эллипса будет иметь вид:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
где \(a\) и \(b\) - найденные ранее полуоси эллипса.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
