1. Что такое угол между векторами ом и он в равнобедренной трапеции oacb, где MI и N - середины сторон BC = 2 и AC

1. Угол между векторами $\mathbf{OM}$ и $\mathbf{ON}$ в равнобедренной трапеции $OACB$ можно вычислить, используя свойство скалярного произведения векторов. Сначала найдем векторы $\mathbf{OM}$ и $\mathbf{ON}$.

Поскольку $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ - середины сторон $BC$ и $AC$, соответственно, то мы можем найти координаты этих точек. Пусть $B$ имеет координаты $(x_1,y_1)$, а $C$ - $(x_2,y_2)$.

Так как $BC$ - сторона равнобедренной трапеции, то $BC=2$, а значит $\mathbf{B}\mathbf{С}=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(2,0)$.

Также, учитывая, что острый угол трапеции равен ${60}^{\circ }$, мы можем записать систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}(x_2-x_1{)}^2+y_1^2=4\\ (x_1+x_2{)}^2+y_2^2=4\\ y_1^2+y_2^2=4\end{array}$$

Решение этой системы даст нам значения $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$.

После того как мы нашли координаты точек $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$, мы можем найти векторы $\mathbf{OM}$ и $\mathbf{ON}$. Для этого просто отнимем координаты точки $O$ от координат точек $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$.

После нахождения векторов $\mathbf{OM}$ и $\mathbf{ON}$, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{OM}\cdot \mathbf{ON}}{\Vert \mathbf{OM}\Vert \cdot \Vert \mathbf{ON}\Vert }$$

где $\theta$ - искомый угол, $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов, а $\Vert \mathbf{OM}\Vert$ и $\Vert \mathbf{ON}\Vert$ - длины векторов.

2. Чтобы найти уравнение прямой и длину образовавшейся хорды, необходимо учесть следующие свойства параболы.

Уравнение параболы вида $y=a{x}^2+bx+c$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты, может быть записано в виде $\mathbf{y}=\mathbf{A}{\mathbf{x}}^2+\mathbf{B}\mathbf{x}+\mathbf{C}$, где $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ - векторы, $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C}$ - матрицы с соответствующими коэффициентами.

По условию, парабола задана уравнением $y=-4x^2$. Мы видим, что коэффициенты $a$ и $b$ равны -4 и 0 соответственно.

Зная коэффициенты $a$, $b$ и $c$, мы можем записать матрицы $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C}$:

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}-4\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]$$

Теперь мы можем определить уравнение прямой, проходящей через фокус параболы и образующей угол 120° с осью $Ox$. Поскольку мы не знаем точные координаты фокуса, но знаем, что прямая проходит через него, мы можем записать общее уравнение прямой $y=mx+b$, где $m$ - угловой коэффициент прямой, а $b$ - точка пересечения прямой с осью $Oy$.

Учитывая условие задачи, мы знаем, что угол между прямой и осью $Ox$ составляет 120°. Отсюда следует, что $\tan ({120}^{\circ })=m$, так как $\tan$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Исходя из этого, мы определяем $m$ и находим угловой коэффициент прямой. Далее, используя известные координаты фокуса параболы и уравнение прямой, мы можем найти точку пересечения прямой с осью $Oy$ и получить значение $b$. Теперь у нас есть уравнение прямой вида $y=mx+b$.

Чтобы найти длину образовавшейся хорды, мы должны найти расстояние между точками, в которых прямая пересекает параболу. Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

где $d$ - расстояние между точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$.

3. Чтобы найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника с вершинами $A(-4,2)$, $B(2,-5)$ и $C(5,0)$, мы можем использовать свойства медиан и высот треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения точки пересечения медиан, нам нужно найти середины сторон треугольника.

Середина отрезка с координатами $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ может быть найдена по формуле:

$$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$

Мы можем найти середины сторон треугольника $AB$ и $BC$ с помощью этой формулы. Затем, чтобы найти точку пересечения медиан, нам нужно найти середину стороны треугольника $AC$.

Что касается точки пересечения высот треугольника, нам нужно знать уравнения высот. Высота треугольника - это отрезок, проходящий через вершину треугольника и перпендикулярный стороне, противолежащей этой вершине.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$, может быть найдено по формуле:

$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

Мы можем использовать эту формулу для нахождения уравнений высот треугольника. Зная уравнения высот, мы можем решить систему уравнений из трех высот треугольника, составленную из уравнений прямых, и найти точку их пересечения.

4. Чтобы найти уравнение эллипса, который симметричен относительно осей координат, имеет фокусы на оси $Ox$, проходит через точку $M(-4,21)$ и имеет эксцентриситет $\epsilon =\frac{3}{4}$, нужно учесть свойства эллипсов.

Эллипс имеет два фокуса, которые находятся на оси $Ox$. Пусть фокусы $F_1$ и $F_2$ имеют координаты $(c,0)$ и $(-c,0)$, соответственно. В данном случае, фокусы эллипса находятся на оси $Ox$, поэтому $c>0$.

Известно, что эксцентриситет эллипса задается формулой:

$$\epsilon =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$

где $a$ - большая полуось, а $b$ - малая полуось эллипса.

Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то $a$ и $b$ равны.

Используя данный эксцентриситет, мы можем выразить $b$ через $a$:

$$b=a\sqrt{1-{\epsilon }^2}$$

Теперь, зная координаты фокусов и одну точку эллипса, мы можем найти $c$ с помощью формулы:

$$c=\frac{a\epsilon }{\sqrt{1-{\epsilon }^2}}$$

После нахождения $a$ и $c$, мы можем записать уравнение эллипса в канонической форме:

$$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$$

где $(h,k)$ - координаты центра эллипса. Для эллипса, симметричного относительно осей координат, $h=0$, $k=0$.

Таким образом, уравнение эллипса будет иметь вид:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

где $a$ и $b$ - найденные ранее полуоси эллипса.