На каком расстоянии от вершины конуса расположено сечение, имеющее площадь, равную 4/9 от площади основания конуса?

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу площади основания конуса и формулу площади сечения конуса.

Формула площади основания конуса выглядит следующим образом:
\[S_1 = \pi r^2,\]
где \(S_1\) - площадь основания конуса, \(\pi\) - число пи (приближенное значение равно 3.14), \(r\) - радиус основания конуса.

Так как в условии не дано значение радиуса, но дано значение площади основания, нам понадобится формула для нахождения радиуса:

\[S_1 = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}}.\]

Также, мы знаем следующую формулу для площади сечения конуса:
\[S_2 = k \cdot S_1,\]
где \(S_2\) - площадь сечения конуса, \(k\) - коэффициент, определяющий отношение площади сечения к площади основания.

Подставим значение площади основания конуса:
\[S_2 = k \cdot \pi r^2,\]
и условие задачи, что площадь сечения равна \(\frac{4}{9}\) от площади основания:
\[\frac{4}{9} \cdot \pi r^2 = k \cdot \pi r^2.\]

Заметим, что \(\pi r^2\) находится на обеих сторонах равенства и сокращается:
\[\frac{4}{9} = k.\]

Теперь мы знаем значение коэффициента \(k\), которое равно \(\frac{4}{9}\). Чтобы найти расстояние от вершины конуса до сечения, нам необходимо знать высоту конуса. В условии дано, что высота конуса составляет 48 см.

Расстояние \(d\) от вершины до сечения можно найти с помощью теоремы Пифагора. Имеем:
\[d^2 = h^2 - r^2,\]
где \(h\) - высота конуса, \(r\) - радиус основания конуса.

Подставим известные значения:
\[d^2 = 48^2 - (\sqrt{\frac{S_1}{\pi}})^2.\]

Теперь, когда у нас есть полное уравнение для нахождения расстояния \(d\), мы можем подставить значения и вычислить.