1. Чему равен угол x, для которого sinx⋅tgx−(√3/3)sinx=0 (Угол из IV квадранта пишем со знаком минус без пробела)?

1. Решение уравнения \(sinx \cdot tgx - \frac{\sqrt{3}}{3}sinx = 0\):

Для начала, давайте вынесем общий множитель sinx: sinx( tgx - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0

Так как sinx является общим множителем, рассмотрим два случая:

Случай 1: sinx = 0
В этом случае получим угол x, для которого sinx = 0. Нам известно, что sin0 = 0, поэтому x = 0 является одним из решений.

Случай 2: tgx - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0
Для упрощения уравнения, найдем значение tgx, которое равно \frac{\sinx}{\cosx}.
Подставим это значение в уравнение: \frac{\sinx}{\cosx} - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0

Перемножим обе части уравнения на 3\cosx: \sinx - \sqrt{3}\cosx = 0

Мы можем применить тригонометрическую формулу синуса разности углов, чтобы получить:

2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) - \sqrt{3}(\cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})) = 0

Упрощая это уравнение, получаем:

2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) - \sqrt{3}\cos^2(\frac{x}{2}) + \sqrt{3}\sin^2(\frac{x}{2}) = 0

Мы также можем использовать тригонометрическую формулу синуса косинуса разности углов, получив:

\sin(\frac{x}{2})(2\cos(\frac{x}{2}) - \sqrt{3}\cos(\frac{x}{2}) + \sqrt{3}\sin(\frac{x}{2})) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

Случай 2.1: \sin(\frac{x}{2}) = 0
Из этого следует, что \frac{x}{2} = 0, так как sin0 = 0.
Следовательно, x = 0 является одним из решений.

Случай 2.2: 2\cos(\frac{x}{2}) - \sqrt{3}\cos(\frac{x}{2}) + \sqrt{3}\sin(\frac{x}{2}) = 0

Мы можем обобщить формулу, решая эту часть уравнения.

Упрощая это уравнение, получим: \cos(\frac{x}{2})(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3}\sin(\frac{x}{2}) = 0

Мы также можем использовать тригонометрическую формулу синуса и косинуса, чтобы переписать это уравнение:

2\cos(\frac{x}{2}) - \sqrt{3}\cos(\frac{x}{2}) + \sqrt{3}\sqrt{1-\cos^2(\frac{x}{2})}) = 0

Подставив y = \cos(\frac{x}{2}), мы получим:

2y - \sqrt{3}y + \sqrt{3}\sqrt{1-y^2}) = 0

Из этого уравнения мы можем вывести два возможных значения для y, а затем найти соответствующие значения для x.

y = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3}

y = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}

Теперь найдем соответствующие значения для x, используя y:

y = \cos(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3}
\frac{x}{2} = \arccos(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3})
x = 2\arccos(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3})

y = \cos(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}
\frac{x}{2} = \arccos(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3})
x = 2\arccos(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3})

Таким образом, решение уравнения sinx⋅tgx−(√3/3)sinx=0 состоит из трех значений: x = 0, x = 2\arccos(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3}), x = 2\arccos(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{3}).

2. Решение уравнения \(5\cos^2x + 14\cosx - 3 = 0\):

Давайте использовать замену y = \cosx. Тогда уравнение может быть переписано как:

5y^2 + 14y - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта.

Для уравнения вида ay^2 + by + c = 0, дискриминант определяется как D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 5, b = 14 и c = -3:

D = (14)^2 - 4(5)(-3) = 196 + 60 = 256

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

y = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{2(5)} = \frac{-14 \pm 16}{10}

Теперь найдем значения для y:

y_1 = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

y_2 = \frac{-14 - 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3

Теперь найдем соответствующие значения для x, используя значение y:

y = \cosx = \frac{1}{5}
x = \arccos(\frac{1}{5})

y = \cosx = -3
x = \arccos(-3)

Таким образом, решение уравнения 5cos^2x+14cosx−3=0 состоит из двух значений: x = \arccos(\frac{1}{5}) и x = \arccos(-3).