1. а) Переведите число 74,3 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления, записав его в формате

Конечно, я помогу вам решить эти задачи. Давайте начнем с перевода числа 74,3 из десятичной системы счисления в двоичную.

а) Перевод числа 74,3 в формат с фиксированной точкой в 24-разрядной сетке (с запятой после 12-го разряда):

Для начала, представим 74,3 как целое число и дробную часть. Целая часть числа 74,3 равна 74, а дробная часть - 0,3.

1) Перевод целой части числа 74 в двоичную систему:

\(74 = 64 + 8 + 2 = 2^6 + 2^3 + 2^1\)

При переводе в двоичную систему, мы используем разложение числа на сумму степеней двойки. Получаем:

\(74 = 1001010_2\)

2) Перевод дробной части числа 0,3 в двоичную систему:

Умножим дробную часть на 2 и запишем целую часть результата. Продолжим этот процесс до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или пока не достигнем нужной точности.

\[0,3 \times 2 = 0,6\]
\[0,6 \times 2 = 1,2\]
\[0,2 \times 2 = 0,4\]
\[0,4 \times 2 = 0,8\]
\[0,8 \times 2 = 1,6\]

После нескольких итераций мы видим, что дробная часть стала равной 0,6, что совпадает с предыдущим значением. Таким образом, дробная часть числа 0,3 в двоичной системе равна \(0,0100110011001100...\).

3) Объединение целой и дробной части в формате с фиксированной точкой:

Для задачи с фиксированной точкой в 24-разрядной сетке, мы имеем 12 разрядов для целой части и 12 разрядов для дробной части.

Целая часть 74 в двоичной системе имеет 7 разрядов: \(1001010_2\).
Дробная часть 0,3 в двоичной системе имеет 16 разрядов: \(0,0100110011001100...\).

Таким образом, число 74,3 в двоичной системе счисления в формате с фиксированной точкой в 24-разрядной сетке будет выглядеть следующим образом:

\(1001010,0100110011001100...\)

б) Перевод числа -74,3 из десятичной системы счисления в двоичную систему:

Для начала, изменим знак числа на отрицательный: -74,3.

1) Перевод абсолютной величины числа 74,3 в формат с фиксированной точкой в 24-разрядной сетке:

Мы уже вычислили двоичное представление числа 74,3 как \(1001010,0100110011001100...\) в предыдущей части задания.

2) Получение прямого кода числа:

Для получения двоичного представления отрицательного числа, мы используем прямой код. Прямой код получается инвертированием битов числа с фиксированной точкой (24-разрядная сетка).

Инвертируем каждый бит числа \(1001010,0100110011001100...\), получаем:

\(0110101,1011001100110011...\)

3) Прибавление единицы к прямому коду:

Для получения дополнительного кода числа, нужно добавить 1 к прямому коду.

\(0110101,1011001100110011... + 1 = 0110101,1011001100110011...1\)

4) Перевод дробной части числа -0,3 в двоичную систему:

Аналогично предыдущей части задачи, дробную часть -0,3 в двоичной системе записывается как \(0,1011001100110011...\).

5) Объединение прямого кода и дробной части:

Прямой код числа -74,3 в формате с фиксированной точкой в 24-разрядной сетке будет выглядеть следующим образом:

\(0110101,1011001100110011...\)

Объединим прямой код и дробную часть:

\(0110101,1011001100110011...0,1011001100110011...\)

Таким образом, число -74,3 в двоичной системе счисления в формате с фиксированной точкой в 24-разрядной сетке будет равно:

\(0110101,1011001100110011...0,1011001100110011...\)

6) Перевод числа -74,3 в формат с плавающей точкой (с 8 разрядами для порядка и 16 разрядами для мантиссы):

Для формата с плавающей точкой мы используем стандарт IEEE-754.

Порядок - приведение числа к формату с плавающей точкой:

Порядок для отрицательного числа -74,3 в формате с плавающей точкой будет равен порядку числа 74,3 плюс смещение.

Порядок для числа 74,3 в двоичной системе равен 10000010. Добавив смещение 127, получаем порядок 10000101.

Мантисса - дробная часть числа в формате с плавающей точкой:

Мантисса для числа -74,3 равна дробной части числа 74,3: \(0,1011001100110011...\).

Таким образом, число -74,3 в формате с плавающей точкой будет представлено как:

\(1 10000101 1011001100110011...\)

Проверим наш ответ:

Распакуем биты порядка и мантиссы:

\(1 10000101 1011001100110011...\)

Порядок: \(10000101_2 = 133_{10} - 127 = 6_{10}\)

Мантисса: \(1,1011001100110011...\)

Число в двоичной системе: \(-1.1011001100110011...\)

Переведем число в десятичную систему:

\(1.1011001100110011... = -1 \times (1 + 1/2 + 1/4 + 1/32 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ...)\)

Получается, числа с порядком меньше 0 дают очень маленькие значения, которые можно пренебречь.

Округлим число до двух знаков после запятой: \(-1.10\)

Таким образом, число -74,3 в двоичной системе счисления в формате с плавающей точкой (с 8 разрядами для порядка и 16 разрядами для мантиссы) будет равно:

\(-1 10000101 10110011\)