1.а) Какова длина окружности с радиусом 7см? б) Найдите площадь кругового сектора с дугой угла 120 градусов и радиусом

Хорошо, давайте решим все эти задачи по очереди.

1. а) Для нахождения длины окружности с радиусом \(r\) используется формула \(C = 2\pi r\), где \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14. Подставим значение радиуса \(r = 7\) в формулу и выполним вычисления:
\[C = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43.96 \text{ см}\]

б) Чтобы найти площадь кругового сектора, нужно использовать формулу \(S = \frac{{\text{дуга}}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\). В этой формуле \(\text{дуга}\) - длина дуги окружности, а \(r\) - радиус. Подставим значения \(\text{дуги} = 120\) градусов и \(r = 12\) см в формулу и выполним вычисления:
\[S = \frac{{120}}{{360}} \cdot \pi \cdot 12^2 \approx 150.72 \text{ см}^2\]

в) Чтобы найти градусную меру дуги по ее длине и радиусу, нужно использовать формулу \(l = \frac{{\text{градусная мера}}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r\). Подставим значения \(l = 3\pi\) и \(r = 8\) в формулу и решим уравнение относительно градусной меры:
\[3\pi = \frac{{\text{градусная мера}}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi \cdot 8\]
Решая это уравнение, получаем:
\[\text{градусная мера} = \frac{{3 \pi \cdot 360^\circ}}{{2\pi \cdot 8}} = 135^\circ\]

2. Когда прямоугольник вписан в окружность, его диагональ становится диаметром окружности. Для нахождения длины окружности и площади круга используются следующие формулы:

Длина окружности \(C = 2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности. В данном случае, диаметр окружности равен длине диагонали прямоугольника, то есть \(d = \sqrt{10^2 + 24^2}\). Найдем радиус окружности, разделив диаметр на 2: \(r = \frac{d}{2}\). Подставим значение радиуса в формулу для длины окружности и выполним вычисления:
\[C = 2\pi \left( \frac{\sqrt{10^2 + 24^2}}{2} \right) \approx 62.83 \text{ см}\]

Площадь круга \(S = \pi r^2\). Подставим значение радиуса и выполним вычисления:
\[S = \pi \left( \frac{\sqrt{10^2 + 24^2}}{2} \right)^2 \approx 313.77 \text{ см}^2\]

3. Для решения этой задачи нужно использовать факт о правильном треугольнике, вписанном в окружность. Радиус окружности равен половине стороны треугольника. Найдем радиус окружности, разделив сторону треугольника на 2: \(r = \frac{5}{2}\). Теперь можем найти площадь круга, используя формулу \(S = \pi r^2\) и длину окружности \(C = 2\pi r\):
\[S = \pi \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25\pi}{4} \approx 19.63 \text{ см}^2\]
\[C = 2\pi \left( \frac{5}{2} \right) = 5\pi \approx 15.71 \text{ см}\]

4. Правильный четырехугольник можно представить как два накладывающихся правильных треугольника. Поскольку радиус вписанной окружности является расстоянием от центра до каждой стороны треугольника, это расстояние также является высотой треугольника. Для правильного треугольника со стороной \(a\) высота равна \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\), поэтому в данном случае высота равна \(\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\). Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности, равный половине высоты треугольника:
\[r = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \text{ см}\]