1; -4) и p(-5; 2; 7). What is the point on the applicate that is equidistant from points m(-2; 3; 5), n (3

Для того чтобы найти точку на плоскости, которая находится на равном расстоянии от трех заданных точек, мы можем использовать метод средней перпендикулярной. Этот метод основан на том, что если прямая перпендикулярна двум прямым, то она также перпендикулярна плоскости, образованной этими прямыми.

Теперь, давайте приступим к решению задачи. Первым шагом будет найти векторы, направленные от точки m к точкам n и p. Для этого вычислим разности координат между соответствующими точками:

\[
\overrightarrow{mn} = (3 - (-2); 1 - 3; (-4) - 5) = (5; -2; -9)
\]

\[
\overrightarrow{mp} = ((-5) - (-2); 2 - 3; 7 - 5) = (-3; -1; 2)
\]

Затем найдем векторное произведение этих двух векторов. Векторное произведение будет перпендикулярно обеим векторам и будет лежать в плоскости, образованной m, n и p:

\[
\overrightarrow{nmp} = \overrightarrow{mn} \times \overrightarrow{mp}
\]

\[
\overrightarrow{nmp} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 5 & -2 & -9 \\ -3 & -1 & 2 \end{vmatrix}
\]

Далее, найдем уравнение плоскости, проходящей через точку m и перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{nmp}\). Для этого используем уравнение плоскости в виде:

\[
Ax + By + Cz = D
\]

где A, B и C - координаты вектора \(\overrightarrow{nmp}\), а x, y и z - координаты точки m.

\[
5x + (-2)y + (-9)z = D
\]

Подставим координаты точки m в уравнение и решим его относительно D:

\[
5(-2) + (-2)(3) + (-9)(5) = D
\]

\[
D = -10 - 6 - 45 = -61
\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку m и перпендикулярной вектору \(\overrightarrow{nmp}\), имеет вид:

\[
5x - 2y - 9z = -61
\]

Теперь, найдем уравнения прямых, проходящих через точки n и p и параллельные вектору \(\overrightarrow{nmp}\). Для этого также используем уравнение прямой в виде:

\[
x = x_0 + at
\]
\[
y = y_0 + bt
\]
\[
z = z_0 + ct
\]

где x_0, y_0 и z_0 - координаты точки на прямой, a, b и c - координаты вектора \(\overrightarrow{nmp}\), а t - параметр.

Для точки n:

\[
x = 3 + 5t
\]
\[
y = 1 - 2t
\]
\[
z = -4 - 9t
\]

Для точки p:

\[
x = -5 - 3t
\]
\[
y = 2 - t
\]
\[
z = 7 + 2t
\]

Теперь перейдем к нахождению точки, которая находится на равном расстоянии от точек m, n и p. Поскольку эта точка должна находиться на пересечении плоскости, проходящей через m, и прямых, параллельных \(\overrightarrow{nmp}\), мы можем подставить уравнения прямых в уравнение плоскости и решить получающуюся систему уравнений.

Подставим уравнения прямых в уравнение плоскости:

\[
5(3 + 5t) - 2(1 - 2t) - 9(-4 - 9t) = -61
\]

Раскроем скобки:

\[
15 + 25t - 2 + 4t + 36 + 81t = -61
\]

Соберем все слагаемые с t вместе:

\[
110t + 49 = -61
\]

Выразим t:

\[
110t = -61 - 49
\]

\[
110t = -110
\]

\[
t = \frac{-110}{110}
\]

\[
t = -1
\]

Теперь найдем значения x, y и z для полученного значения t, подставив t = -1 в уравнения прямых:

Для прямой, проходящей через точку n:

\[
x = 3 + 5(-1) = -2
\]
\[
y = 1 - 2(-1) = 3
\]
\[
z = -4 - 9(-1) = 5
\]

Таким образом, точка, находящаяся на равном расстоянии от точек m, n и p, имеет координаты (-2, 3, 5).