1.12. У точки есть движение в плоскости xoy, описываемое уравнениями: x = −2t; y = 4t(1−t) . Необходимо найти уравнение

Решение:

Для начала найдем уравнение траектории \(y = f(x)\). Заметим, что у нас даны уравнения движения точки в плоскости \(xoy\): \(x = -2t\) и \(y = 4t(1-t)\).

Чтобы найти уравнение траектории, нужно выразить \(t\) через \(x\) и подставить это выражение в уравнение \(y\):

\[x = -2t\]

\[t = -\frac{x}{2}\]

Подставляем \(t\) в уравнение \(y\) и получаем:

\[y = 4\left(-\frac{x}{2}\right)\left(1 + \frac{x}{2}\right)\]

Упростим это выражение:

\[y = -2x(1 + \frac{x}{2})\]

Таким образом, уравнение траектории \(y = f(x)\) имеет вид: \(y = -2x(1 + \frac{x}{2})\).

Итак, у нас есть уравнение траектории. Теперь давайте построим его график.

График уравнения траектории выглядит следующим образом:

(вставить изображение графика)

Теперь определим вектор скорости \(\vec{v}\) и вектор ускорения \(\vec{a}\) в зависимости от времени.

Для вектора скорости воспользуемся производными от \(x\) и \(y\) по времени:

\(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}\)

\(\vec{v} = \frac{d}{dt}(-2t)\hat{i} + \frac{d}{dt}(4t(1-t))\hat{j}\)

\(\vec{v} = -2\hat{i} + (4 - 8t)\hat{j}\)

Таким образом, вектор скорости \(\vec{v}\) равен \(-2\hat{i} + (4 - 8t)\hat{j}\).

Теперь найдем вектор ускорения \(\vec{a}\) путем дифференцирования вектора скорости по времени:

\(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(-2)\hat{i} + \frac{d}{dt}(4 - 8t)\hat{j}\)

\(\vec{a} = 0\hat{i} - 8\hat{j}\)

Таким образом, вектор ускорения \(\vec{a}\) равен \(-8\hat{j}\).

Наконец, найдем момент времени \(t_0\), при котором вектор ускорения \(\vec{a}\) составляет угол \(\frac{\pi}{4}\) с вектором скорости \(\vec{v}\).

Для этого воспользуемся определением скалярного произведения векторов:

\(\vec{a} \cdot \vec{v} = |\vec{a}||\vec{v}|\cos{\theta}\)

где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\).

Подставляя значения компонент векторов, получим:

\((0)(-2) + (-8)(4 - 8t_0) = |-8|\sqrt{(-2)^2 + (4 - 8t_0)^2}\cos{\frac{\pi}{4}}\)

\(0 - 32 + 64t_0 = 8\sqrt{4 + (4 - 8t_0)^2}\)

\(64t_0 - 32 = 8\sqrt{4 + (4 - 8t_0)^2}\)

\(64t_0 - 32 = 8\sqrt{4 + 16 - 64t_0 + 64t_0^2}\)

\(8\sqrt{20} = 8\sqrt{64t_0^2 - 128t_0 + 20}\)

\(\sqrt{20} = \sqrt{64t_0^2 - 128t_0 + 20}\)

Извлекая квадратный корень, получаем:

\(\sqrt{20} = \sqrt{(8t_0 - 2)^2}\)

\(\sqrt{20} = 8t_0 - 2\)

Теперь решаем уравнение относительно \(t_0\):

\(8t_0 - 2 = \sqrt{20}\)

\(8t_0 = 2 + \sqrt{20}\)

\(t_0 = \frac{2 + \sqrt{20}}{8}\)

\(t_0 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\)

Получаем, что момент времени \(t_0\) равен \(0.75\) секунд.

Таким образом, уравнение траектории \(y = -2x(1 + \frac{x}{2})\), график которой представлен на графике, вектор скорости \(\vec{v}\) равен \(-2\hat{i} + (4 - 8t)\hat{j}\), вектор ускорения \(\vec{a}\) равен \(-8\hat{j}\) и момент времени \(t_0\) равен \(0.75\) секунд.